물리학의 원리로서 NP- 완전 문제의 난이도?

나는 항상 P 대 NP 문제에 대한 실험 수학의 수치 적 증거가 부족하다는 것에 흥미를 느낀다. Riemann 가설은 수치 검증을 통해 뒷받침되는 증거가 있지만 P 대 NP 문제에 대한 비슷한 증거는 알지 못합니다.

또한, 결정 불가능한 문제 (또는 계산할 수없는 기능의 존재)의 존재로 인한 직접적인 물리적 세계 결과에 대해 알고 있지 않습니다. 단백질 폴딩은 NP- 완전 문제이지만 생물학적 시스템에서 매우 효율적으로 발생하는 것으로 보입니다. Scott Aaronson은 물리학의 원리로 NP 경도 가정을 사용하도록 제안했습니다. 그는 비공식적으로 " NP- 완전한 문제는 물리적 세계에서 다루기 어렵다 "고 가정한다 .

NP 경도 가정을 가정 할 때, 우리 우주가 NP 경도 가정을 존중하는지 여부를 결정하는 과학적 실험을 설계하는 것이 어려운 이유는 무엇입니까?

또한 에 대해 또는 실험 수학에서 알려진 수치 적 증거가 있습니까?$P\ne NP$

편집 : 여기 에 물리학 법칙으로서 전산 다루기 힘든 제목 인 Scott Aaronson의 멋진 프리젠 테이션이 있습니다.

나는 가 점근 적 진술 이라는 사실이 자동적 인 "dealbreaker" 라고 생각하지 않습니다 . 우리의 지식과 일치하지만 " 임의의 n 변수 10SAT 공식에 대한 만족스러운 할당을 찾는 데 적어도 2 n / 10 단계가 필요합니다"(예 : "임의") 와 같이 P와 NP보다 강한 구체적인 추측을 할 수 있습니다 . Achlioptas Coja-Oghlan 의 심은 모델 , 이것은 단지 예일뿐입니다-합리적인 콘크리트 숫자가 무엇인지 모릅니다).$P\neq NP$$2^{n/10}$

이러한 추측은이를 해결하려고 시도하는 자연 시스템이 실패 할 것이라는 반박 가능한 예측을 초래할 수 있습니다 (예 : 지역 최소값에 갇히게 됨). 실험으로 확인할 수 있습니다. 실제로, Joe Fitzsimons가 언급했듯이, 나는 이것에 대한 전문가가 아니라 내 지식에 따르면 그러한 예측은 단열 컴퓨팅으로 확인되었습니다. (Scott Aaronson은 또한 비누 거품으로 재미있는 실험을했습니다.)

물론 사람들이 최적화 문제를 해결하고 암호화를 암호화하는 등의 시도를 해왔으며 지금까지 성공하지 못했다는 사실에서 에 대한 " 임시 증거"도 볼 수 있습니다 .$P \neq NP$

현실 세계는 일정한 크기의 객체이므로 큰 O 표기법에 숨겨진 큰 상수가있는 NP- 완전 문제를 해결하기 위해 다항식 실제 절차를 배제 할 방법이 없습니다.

어쨌든,이 점 외에, 가정은 "실제로하는 실제 절차가 없다 ..."라는 형식의 진술이다. 그러한 진술을 반박하기위한 실험을 어떻게 설계 하는가? 가정이 "실제 세계에서 X를하면 Y가 발생합니다"와 같은 것이면 X를 수행함으로써이를 반박 할 수 있습니다. 우리가 원하는 진술은 무언가의 존재를 주장하므로 실험을 볼 수 없습니다 그것을 결정합니다. 그것은 물리 법칙의 물리적 결과로 보일 수 있지만 튜링 기계가 물리 법칙을 따르기 때문에 P 대 NP보다 훨씬 어렵습니다. TM이 다항식 시간에 NP- 완전 문제를 해결할 수 없다는 것을 보여주지 못했기 때문에 물리적 프로세스가 다항식 시간에 NP- 완전 문제를 해결할 수 없음을 보여줄 수는 없습니다.

실제로 P의 물리적 버전은 NP와 같지 않습니다. 즉, 자연의 물리적 시스템이 NP의 완전한 문제를 해결할 수 없다는 것은 매우 흥미 롭습니다. 몇 가지 우려가 있습니다

1) 프롤 레엄은 실험 물리학 및 이론 물리학에서 실질적으로 "직교 적"인 것으로 보인다. 따라서 실제로 물리학에 유용한 통찰력을 제공하지는 않습니다.

물리학에 대한 통찰력을 추측 할 수있는이 물리적 버전에서 어떻게 추론 할 수 있는지에 대한 몇 가지 멋진 주장이 있지만, 이러한 주장은 상당히 "부드럽고"허점이 있습니다. (그리고 그러한 논증은 문제가 될 수있다. NP와 P와 같지 않은 NP, 우리가 이해하지 못하는 BQP에 포함되지 않은 NP와 같은 매우 어려운 수학적 추측에 의존하기 때문이다.)

(“교회 교섭 논문”에도 유사한 의견이 적용됩니다.)

2) P와 같지 않은 물리적 NP가 P와 같지 않은 수학적 NP보다 더 넓은 추측이지만, 자연에서 발생하는 알고리즘 (및 심지어 인공 알고리즘)도 매우 높은 것처럼 보이기 때문에 더 제한적인 것으로 간주 할 수 있습니다 이론적으로 가능한 모든 알고리즘의 제한된 클래스. 그러한 제한을 공식적으로 이해하는 것은 매우 흥미로울 것이지만, 어떠한 경우에도 문제에서 제안 된 "증거"는 이러한 제한된 클래스에만 적용됩니다.

3) 과학 모델링에서 계산 복잡도는 먼저 자연 현상을 모델링하고 모델을 기반으로 예측할 수있는 항목 (계산 복잡성 이론 제외)을 나타내는 2 차 문제의 일종을 나타냅니다. 모델링 단계에서 계산 복잡성 문제에 너무 많은 가중치를 부여하는 것은 유익하지 않은 것 같습니다. 많은 경우에, 모델은 계산적으로 다루기 힘들지만, 자연적으로 발생하는 문제에 대해 가능하거나 현상을 이해하는 데 유용 할 수 있습니다.

4) 나는 점근선 문제가 "거래 차단기"가 아니라는 보아스에 동의한다. 실제 모델링과 계산 복잡성의 관련성과 관련하여 여전히 심각한 문제입니다.

약간의 일반화를 허용한다면 ... 질문을 확장하고 다른 복잡도 이론적 경도 가정과 과학 실험에 대한 결과를 물어 보자. (물리에 중점을 둘 것입니다.) 최근에는 공간적으로 분리되어 있지만 (로컬로 상관되지 않은) 물리적 시스템 ( 1). 이 설정과 유사한 설정에서 통신 복잡도 의 경도에 대한 가정을 사용하여 양자 역학에 대한 허용 가능한 상관 관계를 재현하는 엄격한 경계를 도출 할 수 있습니다.

맛을 내기 위해 이와 관련하여 이전 결과를 설명하겠습니다. 페스 쿠-Rohrlich 박스 (PR 또는 박스)에 아무런 정보가 빛보다 빠르게 이동 수 없다는 원리와 일치하는 측정 장치 사이의 상관 관계를 재생하는 가상 장치 (원리라고 없는 신호 ).

S. Popescu & D. Rohrlich, 공리로서 양자 비 지역성, 발견. 물리. 24, 379–385 (1994).

우리는 이것을 약간의 영향을 미치는 통신 복잡성의 사례로 볼 수 있습니다. 두 관찰자 가 암시 적으로 의사 소통 해야 한다는 생각 은 물리학자가 신호를 요구하지 않는 제약을 가정합니다. 이 아이디어를 돌아 보면 신호가없는 두 측정 장치간에 어떤 유형의 상관이 가능한가? 이것이 Popescu & Rohrlich가 연구 한 내용입니다. 그들은 이러한 허용 가능한 상관 관계가 양자 역학에 의해 허용 된 것보다 엄청나게 커졌으며, 이는 결국 고전 물리학에 의해 허용 된 것보다 엄청나게 크다는 것을 보여 주었다.

그런 다음 질문은 양자 상관 관계의 집합이 "올바른"상관 관계 집합이되게하고 시그널링이 허용하지 않는 것은 무엇입니까?

이 질문을 해결하기 위해 통신 복잡성이 사소한 기능이 존재한다는 기본 가정을 만들어 봅시다. 여기서 사소하지 않은 것은 부울 함수 f (x, y)를 함께 계산하려면 단일 비트 (2) 이상이 필요하다는 것을 의미합니다 . 놀랍게도,이 매우 약한 복잡성 이론적 가정조차도 허용 가능한 상관의 공간을 제한하기에 충분합니다.

G. Brassard, H. Buhrman, N. Linden, AA Méthot, A. Tapp 및 F. Unger, 의사 소통 복잡성이 사소한 세계에서 비 국지성 제한, Phys. Lett. 96, 250401 (2006)]에 기재되어있다.

약한 결과는 이미 박사 학위에서 입증되었습니다. Wim van Dam의 논문. Brassard et al. PR 박스에 액세스하면 결함이 있고 특정 시간 동안 정확한 상관 관계를 생성하는 박스조차도 통신 복잡성을 완전히 사소하게 할 수 있습니다. 이 세계에서 모든 2 변수 부울 함수는 단일 비트 만 전송하여 공동으로 계산할 수 있습니다. 이것은 터무니없는 것 같아서 반대로 보자. 우리는 의사 소통 복잡성의 사소한 일을 공리로 삼을 수 있으며,이를 통해 우리는 실험에서 양자보다 강한 상관 관계가 관찰되지 않는다는 사실 을 도출 할 수 있습니다 .

통신 복잡성을 사용하는이 프로그램은 놀랍게도 성공적이었을 것입니다. 아마도 계산 복잡도에 해당하는 것보다 훨씬 더 많을 것입니다. 위의 논문은 실제로 빙산의 일각에 불과합니다. 더 읽을 거리는 다음과 같습니다.

H. Buhrman, R. Cleve, S. Massar 및 R. de Wolf, 비 지역 및 의사 소통 복잡성, Mod. Rev. 물리. 82, 665–698 (2010).

또는 내가 인용 한 다른 두 논문에서 전향 문헌 검색.

이것은 또한 통신 설정이 계산 설정보다 분석에 훨씬 더 적합한 이유에 대한 흥미로운 질문을 제기합니다. 아마도 그것은 cstheory에 대한 또 다른 게시 된 질문의 주제 일 수 있습니다.

(1) 물리적 시스템이 두 개의 얽힌 광자로 구성되고 측정이 두 개의 공간적으로 떨어진 두 위치에서 개별 광자에 대한 분극 측정 인 CHSH 불평등 ( 종 의 종 불평등 )으로 알려진 것을 측정하는 실험을 예로 들어 보겠습니다 .

(2)이 단일 비트는 f (x, y)가 실제로 x와 y에 의존 할 때마다 필요 합니다. 0 비트를 보내면 신호가 위반되지 않기 때문입니다.

또한 P ≠ N P 에 대해 또는 실험 수학에서 알려진 수치 적 증거가 $P \neq NP$

내가 아는 한 그러나 에 대한 수치 적 증거를 얻을 수있다$NP \subseteq P/poly$

현재, 최대 길이 10까지의 SAT에 대한 최소 회로를 찾는 것은 현재 매우 어렵습니다. 그러나 기하학적 복잡성 이론의 일부 아이디어를 사용하면 더 효율적인 계산 (더블 지수 대신 지수 만 생각)으로 유사한 결과를 얻을 수 있습니다. Mulmuley의 추측 중 하나는 실제로이 검색은 다항식 시간에 수행 될 수 있지만, 우리는 그에 가까운 것을 증명하는 데는 먼 길입니다.

"다항식 시간"및 "지수 시간"의 정의는 입력 크기가 무한대로 증가함에 따라 실행 시간의 제한 동작을 설명합니다. 반면에, 모든 물리적 실험은 반드시 제한된 크기의 입력 만 고려합니다. 따라서 주어진 알고리즘이 다항식 시간, 지수 시간 또는 다른 것으로 실행되는지 실험적으로 결정할 수있는 방법은 없습니다.

다른 말로하면 로빈이 말한 것입니다.

로빈의 의견에 전적으로 동의한다고 시작하겠습니다. 단백질 폴딩과 관련하여 작은 문제가 있습니다. 이러한 모든 시스템과 마찬가지로 단백질 폴딩은 로컬 최소 점에 갇힐 수 있습니다. 이는 무시하는 것 같습니다. 보다 일반적인 문제는 단순히 일부 해밀턴의 지상 상태를 찾는 것입니다. 실제로 스핀 (즉, 큐 비트) 만 고려하더라도이 문제는 QMA에서 완료됩니다.

그러나 자연 해밀턴 사람들은 QMA 완성도를 증명하는 데 사용 된 인공 인공물들보다 약간 부드럽지만 (자연적인 상호 작용을 반영하지 않는 경향이 있음) 단순한 시스템에서 자연적인 두 신체 상호 작용으로 제한하더라도 결과는 여전히 NP입니다 -완전한 문제. 실제로 이것은 단열 양자 컴퓨팅을 사용하여 NP 문제를 해결하려는 시도의 기초를 형성합니다. 불행히도이 접근법은 에너지 레벨 구조와 관련된 다소 기술적 문제로 인해 NP- 완전 문제에 대해서는 효과가없는 것으로 보입니다. 그러나 이것은 본질적으로 효율적으로 해결할 수없는 (물리적 과정을 의미하는) NP 내에 존재하는 문제의 흥미로운 결과로 이어진다. 그것은 효율적으로 냉각 될 수없는 시스템이 존재한다는 것을 의미합니다. 즉 말하자면,

계산적 관점에서 실제 상황을 연구하는 것은 연속적인 불연속 "점프"로 인해 매우 어렵습니다. 실제 세계의 모든 이벤트가 연속적으로 실행되지만 일반적으로 사용하는 모델은 개별 시간으로 구현됩니다. 따라서 단계가 얼마나 작거나 큰지, 문제의 크기 등을 정의하는 것은 매우 까다 롭습니다.

나는 주제에 관한 Aaronson의 논문에 대한 요약을 썼지 만 영어는 아닙니다. 원본 용지를 참조하십시오 .

개인적으로 저는 계산으로 모델링 된 실제 문제의 또 다른 예를 들었습니다. 이 논문은 조류 무리를 기반으로 한 제어 시스템 모델에 관한 것으로, 조류의 실제 생활에는 시간이 오래 걸리지 만 계산 문제로 분석 할 때 다루기 힘들다 ( "2 초"). 자세한 내용 은 Bernard Chazelle의 논문을 참조 하십시오.

[편집 : Chazelle 논문에 대한 부분이 명확 해졌습니다. 정확한 정보를 제공해 주셔서 감사합니다.]

NP 난치의 예로 n-body 문제에 여전히 투표합니다. 수치 솔루션을 말하는 신사들은 수치 솔루션이 재귀 모델이며, 분석 솔루션과 같은 방식으로 원칙적으로 솔루션이 아니라는 사실을 잊습니다. Qui Dong Wang의 분석 솔루션은 다루기 어렵습니다. 접을 수있는 단백질과 둘 이상의 신체의 시스템에서 궤도를 도는 행성은 P-NP 문제가 다루는 종류의 알고리즘 솔루션이 아니라 물리적 시스템입니다.

또한 지속적으로 솔루션에 대한 chazisop의 어려움에 감사해야합니다. 시간 또는 공간이 연속적이면 잠재적 인 상태 공간을 계산할 수 없게됩니다 (1 개).

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