단색 성분 크기가

채색을 약간 완화하십시오. 즉, 소수의 인접한 정점에 동일한 색상을 할당 할 수 있습니다. 단색 성분은 동일한 색을받는 정점 세트에 의해 유도 된 서브 그래프에서 연결된 성분으로 정의되며, 가장 큰 단색 성분이 크기를 갖도록 그래프를 채색하는 데 필요한 최소 의 색$\lambda$$C$ 을 묻는 것이 문제입니다. 보다 더 C .
이 설정에서 기존 색상은 색상으로 간주 될 수 있습니다 . 따라서 최소 λ 수를 찾는 것은 일반적으로 평면 그래프의 경우 NP-hard입니다. $[\lambda,1]$$\lambda$

내 질문은 평면 그래프의 색상$[\lambda,2]$ , 또는 일반적으로 C ≥ 2의 색소는 어떻습니까?$[\lambda,C]$$C \geq 2$

이것은 Edwards와 Farr 가 연구 한 것에 대한 이중 문제로 볼 수 있는데, 여기서 는 고정되어 있고, 최소 크기는 C의 크기를 찾아야합니다 .$\lambda$$C$

입방 형 평면 그래프에서 2 색의 완벽한 일치는 입방 형 평면 그래프에 대한 증거를 제공하지는 않지만 유명한 이분법 정리 논문에서 Schaefer에 의해 NP- 완전하다고 언급 된 문제와 매우 유사합니다. 문제는 모든 정점이 정확히 같은 색의 이웃을 갖도록 입방 평면 그래프의 두 가지 채색의 존재를 요구합니다.

편집 : 결함 채색은 문제의 결정 버전입니다. 정점이 동일한 색상의 d 정점 이상에 인접하지 않도록 k 개의 정점에 색상을 지정할 수있는 경우 그래프는 (k, d)-색상입니다. 최적화 문제와 동등한 결함이있는 결정 문제 (2,1)-색상 은 평면 그래프 에서도 NP- 완전한 것으로 나타났습니다 .