선형 곱셈, 덧셈 및 비교 (정수)에 얼마나 가깝습니까?

에 accoring에 KW 레이건의 기사 "연결 별" , 그는 그것이 추가, 곱셈,을 비교 한 작업이 선형 시간에 계산 가능한이되도록 정수의 표현을 찾기 위해 열린 여전히 문제가 있다는 말에 언급 :

더하기, 곱하기 및 비교가 모두 선형 시간으로 가능하도록 정수 표현이 있습니까? 기본적으로, 이산 주문 된 선형 시간이 있습니까?

(1) 비교하지 않고 선형 시간 곱셈과 덧셈에 얼마나 가까이 다가 갈 수 있습니까? 여기서는 문제 크기가 다를 수 있으므로 정수 크기를 변경할 수있는 데이터 구조 / 알고리즘이 필요할 수 있다고 가정합니다.

(2) 완전한 문제를 위해 정수를 곱하고, 더하고, 비교하기위한 최적의 체계를 찾을 것이라고 가정 할 수 있습니다. 선형 시간에 대해이 세 가지 작업 중 최악의 상황 (가장 최악의 경우)을 얼마나 가깝게 얻을 수 있습니까? 그리고 그 메모에서 다른 작업은 얼마나 빠릅니까?

공식적인 문제 진술

Emil Jeřábek이 언급했듯이, 우리는 사소한 경우를 배제 하고이 질문에 대한 최악의 경우 행동에 집중하고 싶습니다.

따라서 음수가 아닌 정수 및 ∀ y 에 대해 0 ≤ x < n 및 0 ≤ y < n 인 경우 더하기, 곱하기를 수행하고 x 와 y 사이의 \를 비교할 수있는 데이터 구조 / 알고리즘을 찾을 수 있습니까 ? 에서 O ( N 로그 ( N ) ) 의 시간과 O ( 로그 2 ( N ) ) 공간을?$\forall x$$\forall y$$0 \le x < n$$0 \le y < n$$x$$y$$O(n \log{(n)})$$O(\log^2{(n)})$

아마도 가장 좋은 대답은 아니지만 아마도 이것은 유용한 출발점이 될 것입니다. 음이 아닌 정수를 나타내려면 2부터 시작하는 모듈로 순차 소수의 잔차 세트로 저장할 수 있습니다.이 형식에서는 비교가 어려울 수 있지만 곱셈과 덧셈을 매우 빠르게 수행 할 수 있습니다. 첫번째 소수 의 곱은 p n # = exp ( ( 1 + o ( 1 ) ) n log n )에 의해 근사 됩니다 . 따라서 정수 N 을 나타내 려면 첫 번째 n 소수 소수의 모듈로가 필요합니다 .$n$

$$p_n\# =\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n).$$ $N$$n$ . 우리가 어떤 나타낼 수 있기 때문에 N < P N #을 잔기 제 모듈로 사용하여 N 소수 잔기, 우리는 취할 수 N 로그 N α 로그 ( N을 ) . 첨가 및 곱셈은 잔기 쌍 사이에서 직접 수행 될 수있다. 이러한 쌍은 n 개이며 최대 소수는 약 n log ( n ) 입니다. 따라서 추가해야합니다$N<\exp((1+\mathcal{o}(1) )n\log n)$$N<p_n\#$$n$$n \log n \propto \log(N)$$n$$n\log(n)$ , Schonhage-Strassen을 통한 곱셈은 O ( n log log ( N ) 로그 로그 로그 로그 ( N ) log log log ( N ) )에 있어야합니다. 이후 n은 로그 N α 로그 N을 다음 대략적인주는 N 에서 O ( 로그 N을 / 로그 기록 N을 $O(n\log\log(N))$$O(n\log\log(N)\log\log\log\log(N)\log\log\log(N))$$n \log n \propto \log N$$n$$O(\log N/\log\log N)$. 이것은 대략 추가 복잡성 및 승산을 줄 것이다 및 O ( 로그 N 로그 로그 로그 N 로그 로그 로그 로그 N )를 .$O(\log N)$$O(\log N \log\log\log N \log\log\log\log N)$