자연스러운 CLIQUE to K-Color 감소

둘 다 NP-Complete이기 때문에 CLIQUE에서 k-Color로 분명히 축소되었습니다. 사실, 저는 3-SAT에서 k-Color로 축소하여 CLIQUE에서 3-SAT로 축소를 구성하여 하나를 구성 할 수 있습니다. 내가 궁금해하는 것은 이러한 문제 사이에 합리적인 직접 축소가 있는지 여부입니다. SAT와 같은 중간 언어를 설명 할 필요없이 친구에게 간략하게 설명 할 수있는 축소를 말하십시오.

내가 찾고있는 것의 예로서, 반대 방향으로의 직접적인 감소가 있습니다 : G와 $n$일부 $k$ (색상 수)가 주어지면 $kn$ 꼭짓점 (정점 당 색 당 하나)으로 G '를 만듭니다. . 꼭짓점 v , u 및 색 c , d에 해당하는 꼭짓점 $v'$ , 는 v ≠ u 및 ( c ≠ d 또는 v u ∉ G ) 인 경우에만 인접합니다 . G ' 의 n- 도당$u'$$v, u$$c, d$$v \neq u$$c \neq d$$vu \not \in G$$n$$G'$버텍스 당 하나의 정점 갖는 $G$ , 상기 대응하는 색 적절하다 $k$ 의 -coloring $G$ . 유사하게, G의 적절한 $k$ 컬러링은 G ' 에서 상응하는 경사를 갖는다 .$G$$G'$

편집 : 간단한 동기 부여를 추가하기 위해 Karp의 원래 21 문제 는 CLIQUE 및 Chromatic Number가 주요 하위 트리의 근본을 형성하는 축소 트리에 의해 NP- 완료로 입증되었습니다. CLIQUE 서브 트리와 Chromatic Number 서브 트리의 문제점 사이에 자연스럽게 감소 된 부분이 있지만 그 중 많은 부분이 내가 요구하는 것만 큼 찾기가 어렵습니다. 이 트리의 구조가 다른 문제에서 근본적인 구조를 나타내는 지 또는 전체적으로 축소가 처음 발견 된 결과인지 여부를 드릴 다운하려고합니다. 두 문제 사이의 축소를 검색 할 동기가 적기 때문에 동일한 복잡성 클래스에있는 것으로 알려져 있습니다. 분명히 그 순서는 약간의 영향을 미쳤으며 나무의 일부는 재 배열 될 수 있지만 임의로 재 배열 될 수 있습니까?

편집 2 : 직접 축소를 계속 검색하지만 여기에 내가 얻은 가장 근접한 스케치가 있습니다 (유효한 축소이어야하지만 CIRCUIT SAT는 명확한 중개자입니다. 이보다 더 나은지 여부는 다소 주관적입니다) 첫 번째 단락에서 언급 한 바와 같이 두 가지 감축을 구성).

을 감안할 때 $G, k$ , 우리는 알고 $\overline{G}$ 될 수 $n-k+1$ -colored와 $k$ 정점 모두는 true 색 $G$ 가 $k$ -clique을. 우리는 원래 정점의 이름을 $G$ $v_1, \ldots, v_n$ 으로 지정한 다음 $\overline G$ 추가 정점을 추가합니다 : $C_{ij}$ with $1 \le i \le n$ , $0 \le j \le k$. 변하지 않는 핵심은 정점 { v 1 , … , v i } 중 적어도 j 개의 정점 이 True 인 경우에만 $C_{ij}$ 를 True로 채색 할 수 있다는 것 입니다. 따라서 각 C i 0 은 True 일 수 있습니다. 그리고, C I , J 에 대한 J > 0 얻는 색 C ( I - 1 ) J ∨ C ( I - 1 ) ( J - 1 ) ∧$\{v_1,\ldots, v_i\}$$j$$C_{i0}$$C_{ij}$$j > 0$$C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$ 트루 컬러 이외의 모든 색상이 false로 취급되는 경우. 가$k$ 에 -clique$G$ IFF$C_{nk}$ 트루 컬러 수는 우리가 착색 강제 그래서 만약 새로운 그래프가 있었다 착색성 IFF이고,$k$ 원래 그래프는 -clique.

관계를 시행하기위한 AND 및 OR 가젯은 CIRCUIT SAT에서 3-COLOR 로의 축소와 비슷하지만 그래프에 $K_{n-k+1}$ 을 포함하고 정점 T, F 및 Ground를 선택한 다음 모두 연결합니다. 모든하지만 다른 사람들 $v_i$ 이야; 이렇게하면 $C_{ij}$ 및 기타 가제트에는 3 가지 색상 만 수신됩니다.

어쨌든, 이 축소 의 부분은 직접적으로 느껴지지만 AND / OR 게이트의 사용은 훨씬 덜 직접적입니다. 더 우아한 축소가 있습니까?$\overline G$

편집 3 :이 축소를 찾기 어려운 이유에 대한 몇 가지 의견이 있습니다. CLIQUE와 k-Color는 실제로 다른 문제입니다. 그러나 축소가 없어도 축소가 한 방향으로는 어렵지만 다른 방향으로는 가능한 이유를 자세히 설명하는 대답은 매우 도움이되고 문제에 크게 기여합니다.

G 에 k- 크릭이 포함되어 있는지 알고 싶은 그래프 와 숫자 k가 주어지면 , n은 G 의 꼭짓점 수입니다 . 다음과 같이 G 에 k- 도수 가있는 경우에만 H 가 n 색 이 되도록 다른 그래프 H를 구성 합니다.$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

(1) G의 각 꼭짓점 에 대해 H 에서 꼭짓점 의 n- 크릭 ( v , i ) 을 만드십시오 . 여기서 i의 범위는 1 ~ n 입니다.$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

(2) 정점 하나 를 H에 추가 합니다.$x$$H$

(3) 각각의 트리플 들어 의 정점 H , Y는 = ( V , I ) 및 (Z) = ( U , J ) , 시험은 다음 조건 중 하나를 보유 여부 : 어느 U ≠ V 와 I = J 또는 U 와 V는 에 인접하지 않은 꼭지점 G 로 맥스 ( I , J ) ≤ $\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$$\max(i,j)\le k$. 이 두 가지 중 하나에 해당하면 H에 다른 clique를 추가하십시오 . 이 도당 내에서 세 개의 정점 x ' , y ' 및 . 와 제외하고 를 도당의 모든 정점에 연결합니다 . 와 제외하고는 clique의 모든 꼭짓점에 를 연결하십시오 . 와 제외하고 를 도당의 모든 정점에 연결 합니다.$n$$H$$x'$$y'$ X , Y ' , Z ' , Y , X ' , Z ' , Z , X ' , Y $z'$$x$$y'$$z'$$y$$x'$$z'$$z$$x'$$y'$

단계 (3)에서 추가 된 가제트는 정점 , 및 의 트리플이 모두 유효한 색상으로 서로 같은 색상으로 표시되는 것을 방지합니다 . 의 도당은 와 같은 색 등급에 있고 가있는 꼭짓점 세트 로 의 채색에서 복구 할 수 있습니다 .y z H G H ( v , i ) x i ≤ $x$$y$$z$$H$$G$$H$$(v,i)$$x$$i\le k$

?? 채색과 도발 결과는 중개자로서 SAT를 통하지 않더라도 (그래서 60 년대까지도) 그래프 이론을 통해 수십 년 동안 밀접하게 결합되어있는 것으로 알려져 있습니다 (1971 년 Cook 증거 이후에 ​​일반적으로 나타났습니다). 다음과 같은 기본 속성을 기반으로 알고리즘이 있다고 생각하십시오 .

G가 크기 k의 도당을 포함하는 경우, 그 도당을 착색하기 위해 적어도 k 개의 색이 필요하다; 다시 말해, 색수는 적어도 크리크 수 : $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

정확한 참조는 확실하지 않지만 [1,2]는 시작하기에 좋은 곳이며,이 책에서는 정확한 알고리즘이나 참조가 인용 될 가능성이 높습니다.

[1] 2 차 DIMACS 과제, 도료, 착색 및 만족도

[2] Dimacs vol 26 : 도료, 착색 및 만족도