결정론이 어려운 효율적이고 간단한 무작위 알고리즘

나는 많은 문제에 대해 우리는 매우 우아한 무작위 알고리즘을 알고 있지만 더 복잡한 결정적 솔루션은 없다는 것을 알고 있습니다. 그러나 나는 이것에 대한 몇 가지 예 만 알고 있습니다. 가장 두드러지게

• Randomized Quicksort (및 볼록 껍질과 같은 관련 형상 알고리즘)
• 무작위 배정
• 다항식 아이덴티티 테스트
• Klee의 측정 문제

이 중에서 다항식 신원 테스트 만 무작위성을 사용하지 않으면 실제로 어려운 것으로 보입니다.

무작위 솔루션이 매우 우아하거나 효율적이지만 결정적 솔루션이 아닌 문제의 더 많은 예를 알고 있습니까? 이상적으로는 문제가 평신도에게 동기를 부여하기 쉬워야합니다 (예를 들어 다항식 신원 테스트와 달리).

볼트와 너트 정렬

1992 년에 Rawlins는 다음과 같은 문제를 제안했습니다. n 개의 너트와 n 개의 볼트가 있다고 가정합니다. 각 볼트는 정확히 하나의 너트에 맞으며 그렇지 않으면 너트와 볼트의 크기가 다릅니다. 크기가 너무 가까워 볼트 쌍 또는 너트 쌍을 직접 비교할 수 없습니다. 그러나 볼트를 함께 조여서 너트를 볼트와 비교할 수 있습니다. 일정한 시간에 볼트가 너무 크거나 작거나 너트에 적합한 지 여부를 알 수 있습니다. 너의 임무는 각 너트에 맞는 볼트를 찾거나 그와 동등한 크기로 너트와 볼트를 정렬하는 것입니다.

무작위 퀵소트의 간단한 변형은 시간 의 문제 를 높은 확률로 해결합니다. 임의의 볼트를 선택하십시오. 너트를 분할하는 데 사용하십시오. 일치하는 너트를 사용하여 볼트를 분할하십시오. 그리고 재귀. 그러나 o ( n 2 ) 에서도 실행되는 결정 론적 알고리즘을 찾는 것은 쉽지 않습니다. 결정 론적 O ( n log n ) -시간 알고리즘은 1995 년 Bradford에 의해 그리고 Komlós, Ma 및 Szemerédi에 의해 독립적으로 발견되었습니다. 두 알고리즘 모두 AKS 병렬 정렬 네트워크의 변형을 사용하므로 O ( $O(n \log n)$$o(n^2)$$O(n\log n)$ 시간 제한이 상당히 큼; 무작위 알고리즘의 숨겨진 상수는 4입니다.$O(n\log n)$

• Noga Alon, Manuel Blum, Amos Fiat, Sampath Kannan, Moni Noar 및 Rafail Ostrovsky. 일치하는 너트와 볼트. Proc. 5 주년 ACM-SIAM 증상. 이산 알고리즘 , 690–696, 1994.
• 노가 알론, 필립 브래드 포드, 루돌프 플라이셔 볼트와 너트를 더 빠르게 일치시킵니다. 알립니다. Proc. 레트 사람. 59 (3) : 123-127, 1996.
• 필립 브래드 포드 볼트와 너트가 최적으로 일치합니다. 기술 MPI-I-95-1-025, 1995 년 Informatik의 Max-Planck-Institut. http://domino.mpi-inf.mpg.de/internet/reports.nsf/NumberView/1995-1-025
• Phillip G. Bradford와 Rudolf Fleischer. 볼트와 너트를 더 빠르게 일치시킵니다. Proc. 6 일. Int. 증상 알고리즘 계산 , 402–408, 1995. 강의 노트 컴퓨팅. 공상 과학 1004.
• János Komlós, Yuan Ma 및 Endre Szemerédi. 에 볼트와 너트를 일치 시간. SIAM J. 이산 수학. 11 (3) : 347–372, 1998.$O(n\log n)$
• 그레고리 J.E. 롤린스. 무엇에 비해? : 알고리즘 분석 소개 . 컴퓨터 과학 출판사 / WH 프리먼, 1992.

폴리 타임에 대해서만 이야기하는 것이 아니라 우리가 연구하는 많은 계산 모델을 살펴보면 어디에서나 예제가 있습니다.

로그 공간 : 무 방향 ST 연결 (1979 년 이후 RL 및 2005 년 이후 L에서만)

NC에서 : 이분 그래프에서 병렬로 완벽한 일치 찾기 (RNC에서 여전히 NC에 알려지지 않음)

대화 형 증명에서 : 결정 론적 인 것은 NP를 제공하고 무작위 화 된 사람은 PSPACE를 수행 할 수 있습니다. 관련 : 증거를 결정적으로 확인하려면 모든 증거를 검토해야하지만 PCP 증거를 사용하면 일정한 수의 비트 만 확인할 수 있습니다.

알고리즘 메커니즘 설계에서 : 결정 론적 대응이없는 많은 무작위 화 된 진실한 근사 메커니즘.

통신 복잡성 : 항등 함수는 결정적으로 선형 통신을 요구하지만 로그 (또는 정확한 모델에 따라 일정한) 통신은 무작위로 필요합니다.

의사 결정 트리에서 및 / 또는 트리를 평가하려면 결정적인 선형 쿼리가 필요하지만 무작위 화의 경우 훨씬 적습니다. 이것은 본질적으로 게임 트리 평가를위한 무작위 서브 리니어 알고리즘을 제공하는 알파-베타 프 루닝과 동일합니다.

스트리밍 모델, 분산 컴퓨팅 모델 : 이전 답변을 참조하십시오.

대부분의 스트리밍 알고리즘

스트리밍 계산 모델 ( AMS , book )에서 알고리즘은 온라인 업데이트 시퀀스를 처리하며 부분 선형 공간 만 유지하도록 제한됩니다. 언제든지 알고리즘은 쿼리에 응답 할 수 있어야합니다.

많은 문제들에 대해, 서브 리니어 공간 랜덤 화 된 스트리밍 알고리즘이 존재하지만, 결정적인 알고리즘은 서브 리니어 공간에서의 문제를 해결할 수 없다. 이는 무작위와 결정 론적 의사 소통 복잡성 간의 격차와 관련이 있습니다. 간단한 예는 인 고유 카운트 마다 단계 : 문제 알고리즘 정수 주어진 I의 t ∈ [ N ] , 그것은 근사 할 수 있어야 D의 m = | { i t : t = 1 … m } | 즉, 시간 단계 m 까지 보이는 별개의 정수의 수$t$$i_t \in [n]$$D_m = |\{i_t: t = 1\ldots m\}|$$m$. 일정한 근사치를 달성하는 결정 론적 알고리즘이 공간을 사용해야한다는 것을 비교적 쉽게 알 수 있습니다 (예 : Piotr Indyk의 강의 노트 참조 ). 반면 Flajolet과 Martin 의 영리한 샘플링 알고리즘 (위의 AMS 논문에서 무작위성이 제한된 간단한 분석)은 O ( log n ) 비트로 일정한 근사치를 얻습니다 . 최신 연구 문제에 대한 최적의 제공 O를 ( $\Omega(n)$$O(\log n)$계산 알고리즘1±ε근사.$O(\frac{1}{\epsilon^2} + \log n)$$1\pm \epsilon$

찾기 분산 네트워크에서 최대한의 독립적 인 세트 의 최대 학위와 노드 Δ를 . 알려진 최소 하한값 [3] ( Ω ( log Δ ) , Ω ( $n$$\Delta$무작위 및 결정적 알고리즘을 유지하는 log n )).$\min(\Omega(\log\Delta),\Omega(\sqrt{\log n}))$

다음은 동기 라운드 로 진행되는 간단한 무작위 분산 알고리즘입니다 [1] . (라운드에서 모든 노드 는 일부 로컬 계산을 수행하고 이웃에게 메시지를 보낼 수 있습니다.이 메시지는 다음 라운드가 시작되기 전에 수신되도록 보장됩니다.)$u$

1. 각 라운드에서, 각각의 활성 노드 확률 마크 자체 1 / D U 여기서 D U > 0 이다 정도 U ; 경우 D u는 = 0 , U는 단순히 독립 집합 들어간다. (초기에는 모든 노드가 활성화되어 있습니다.)$u$$1/d_u$$d_u>0$$u$$d_u=0$$u$
2. 가 이웃에서 유일하게 표시된 노드 인 경우 , u 는 독립 세트에 들어가서 자체를 비활성화하고 모든 이웃에게 자체를 비활성화하도록 알립니다. 나머지 활성 노드의 각도는 그에 따라 감소합니다. 즉, 비활성화 된 노드에 대한 모든 에지가 제거됩니다.$u$$u$
3. 그렇지 않으면, 인접 노드 가 표시되어 있으면, 더 낮은 정점은 자체적으로 표시를 해제하고 활성 상태를 유지합니다.$v$

이 알고리즘 은 나머지 라운드의 절반이 매 라운드마다 삭제된다고 주장함으로써 확률이 높은 라운드 에서 종료됨을 알 수 있습니다 . 대조적으로, 가장 빨리 알려진 결정 론적 분산 알고리즘 [2]는 O ( n 1 / $O(\log n)$반올림하고 상당히 더 복잡합니다.$O(n^{1/\sqrt{\log n}})$

[1] Michael Luby : 최대 독립 세트 문제에 대한 간단한 병렬 알고리즘. SIAM J. Comput. 15 (4) : 1036-1053 (1986) http://dx.doi.org/10.1137/0215074

[2] Alessandro Panconesi, Aravind Srinivasan : 분산 네트워크 분해의 복잡성. J. 알고리즘 20 (2) : 356-374 (1996) http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0017

[3] Fabian Kuhn, Thomas Moscibroda, Roger Wattenhofer : 지역 계산 : 하한 및 상한. CoRR abs / 1011.5470 (2010) http://arxiv.org/abs/1011.5470

프로세스의 익명의 링에서 지도자 선거

$1$

익명의 링에 대한 결정 론적 리더 선거 알고리즘 이 없다는 간단한 주장 (예 : [1])이 있습니다 .

모델 : 각 라운드에서 모든 프로세스가 로컬 계산을 수행하고 링의 이웃에게 메시지를 보내고 이웃으로부터 메시지를받는 동기 라운드에서 계산이 진행된다고 가정합니다.

$A$$r\ge 0$$1$

$r\ge 0$$r$$A$$r$$r$$r+1$$A$

$A$$n$$[1,n^4]$

[1] Dana Angluin : 프로세서 네트워크의 로컬 및 전역 속성 (확장 개요). STOC 1980 : 82-93. http://doi.acm.org/10.1145/800141.804655

쿼리 모델에서 대다수 문제

문제 . 우리는 의 세트가 주어집니다$n$$i$$j$

무작위 알고리즘 . 임의의 공을 선택하고 이상을 확인하십시오$n/2$$O(n)$

$O(n)$

FRK Chung, RL Graham, J. Mao 및 AC Yao, 다수 및 복수 문제에 대한 명백하고 적응적인 전략, Proc. COCOON 2005 , 329–338 쪽.