파라미터 화 된 CLIQUE의 경도?

하자 과 의사 결정 문제를 고려 $0\le p\le 1$

CLIQUE 입력 : 정수 그래프 와 정점과 $_p$
$s$ $G$ $t$ 가장자리질문 :않습니다최소한의 파벌 포함정점을? $\lceil p\binom{t}{2} \rceil$
$G$ $s$

CLIQUE의 인스턴스 비율을 포함 모든 가능한 에지의 아웃. 분명히 CLIQUE 어떤 값을 쉽게 . CLIQUE 에는 완전히 연결 해제 된 그래프 만 포함되며 CLIQUE 에는 완전한 그래프가 포함됩니다. 두 경우 모두 CLIQUE 는 선형 시간으로 결정될 수 있습니다. 반면에,의 값 부근에 , CLIQUE의 본질적으로는과 분리 된 조합을 충분하다 : CLIQUE 자체로부터의 환원에 의한 NP-어렵다 투란 그래프 $_p$ $p$ $_p$ $p$ $_0$ $_1$ $_p$ $p$ $1/2$ $_p$ . $T(t,s-1)$

내 질문:

CLIQUE의인가 모든 값에 대한 완전한 NP-PTIME 또는에서 어느 ? 또는이 값이다 CLIQUE에있는 (P ≠ NP 경우) 중간 복잡도를 갖는다? $_p$ $p$ $p$ $_p$

이 질문은 자서전에 대한 관련 질문에서 비롯되었지만 그 자체로는 흥미로워 보입니다.

cc.complexity-theory np parameterized-complexity clique

— 안드라 살 라몬
소스

흥미로운 질문!

— Suresh Venkat

pa 실수가 0과 1 사이입니까, p는 t의 함수일 수 있습니까?

— Robin Kothari

@Robin : 지정하지 않았습니다. 둘 다 흥미로울 것입니다.

— András Salamon

모서리 비율이 상한 (정확한 카운트 요구 사항 또는 하한이 아님) 인 경우 상수

경우이 문제는 CLIQUE를 줄임으로써 NP-hard입니다. 충분히 큰 고립 된 정점 세트 추가 . 숫자 가장자리가주어진 표현과 같아야합니까? 아니면 내가 잃어버린 눈에 띄는 것은 무엇입니까? :-)

0 < p < 1

$0<p<1$

— gphilip

@ gphilip : 비율이 상한 일 경우 축소가 즉시 나타납니다. 이것이 바로 질문이 정확한 비율로 표현되는 이유입니다.

— András Salamon

답변:

나는 숫자가 문제 파벌의 정의에_P질문에 gphilip의 의견과 달리 그래프의 모서리의 수와 정확히 동일합니다. $\left\lceil p \binom{t}{2} \right\rceil$

CLIQUE _p 문제 는 일반적인 CLIQUE 문제를 줄임으로써 합리적인 상수 0 < p <1에 대해 NP- 완료입니다 . (가정 p 가 합리적 N 에서 시간 다항식으로 N 에서 수 있습니다 .) $\lceil pN \rceil$

k ≥3을 k ² ≥1 / p 및 (1-1 / k를 모두 만족하는 정수로 하자. ) (1-2 / k )> p . 임계 값 s 와 함께 n 개의 꼭지점과 m 개의 모서리가 있는 그래프 G 가 주어지면 축소는 다음과 같이 작동합니다.

경우 S < K , 우리는 시간 O (CLIQUE의 문제 해결 N ^S ) 시간. 최소 s 크기의 크릭이있는 경우 고정 된 예 인스턴스를 생성합니다. 그렇지 않으면 고정 된 무 인스턴스를 생성합니다.
n < s 인 경우 고정 된 무 인스턴스를 생성합니다.
만약 N ≥ S ≥ K , 우리는 추가 G A ( K -1) -partite 그래프 각각의 세트가 구성되어 N 개의 정점을 갖는 정확히 가장자리,이 그래프를 생성합니다. $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

주 케이스 (1)은 O (걸리는 N ^{K -1} 의 다항식) 시간, N 매위한 쪽 . 경우 3은 n ≥ s ≥ k 이면 은 음이아니며다음 두 청구 범위에 표시된 것처럼완전한 (-k) -partite 그래프 K_n_,…,_n의 가장자리 수입니다. $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m$

청구 1 . . $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \ge 0$

증거 . 이후 , 우리가증명하면 충분하다 $m \le \binom{n}{2}$ 또는 동등하게pnk(nk-1) ≥n(n-1). 사람P≥ 1 /K⁽²⁾, 우리가 가진전구 자연 살해(NK-1) ≥N $p \binom{nk}{2} \ge \binom{n}{2}$ ( N -1 / K ) ≥ N ( N -1). QED .

청구 2 . . (오른쪽은 완전한 (k-1)-파티 트 그래프 K_n_,…,_n의 모서리 수입니다.) $\left\lceil p \binom{nk}{2} \right\rceil - m \lt n^2 \binom{k-1}{2}$

증거 . 이후 및 m 우리 증명할 경우 ≥ 0이 충분 $\lceil x \rceil \lt x+1$ 또는 동등하게n²(k-1) (k-2)-pnk(nk-1)-2 ≥ 0입니다.p<(1-1 /k) (1-2 /k)이므로, 우리는 $p \binom{nk}{2} + 1 \le n^2 \binom{k-1}{2}$

엔^{2} (케이 - 1) (케이 - 2) - 피 엔 케이 (엔 케이 - 1) - 2

$n^2(k-1)(k-2) - pnk(nk-1) - 2$

\geq 엔^{2} (케이 - 1) (케이 - 2) - 엔 (엔 - \frac{1}{케이}) (케이 - 1) (케이 - 2) - 2

$\ge n^2(k-1)(k-2) - n \left( n-\frac{1}{k} \right) (k-1)(k-2) - 2$

QED.

= \frac{엔}{케이} (케이 - 1) (케이 - 2) - 2 \geq (케이 - 1) (케이 - 2) - 2 \geq 0.

$= \frac{n}{k} (k-1)(k-2) - 2 \ge (k-1)(k-2) - 2 \ge 0.$

편집 : 개정 1의 축소에 오류가 있습니다. 때로는 가장자리 수가 음수 인 그래프가 필요했습니다 ( p 가 작을 때 ). 이 오류는 이제 수정되었습니다.

— 이토 츠요시
소스

이것은 특정 문구에 가장 가깝기 때문에이를 해결해 주셔서 감사합니다. 사례 3은 내가 생각한 것과 가장 가깝습니다. 그러나 계산을 따르지 않습니다. 조금 확장 할 수 있습니까?

— András Salamon

@ András Salamon : 완료

— Ito Tsuyoshi

$p$ $t$ $p$ $\log^4 t$ $s$ $\log^2 t$ $t^{\log^2 t}$ 의미,이 문제에 대한 알고리즘이 문제 하드 NP가 될 수 없습니다 (표준 가정에서, SAT는 subexponential 알고리즘이없는 말).

다른 한편으로,이 문제는 의 표준 경사 문제보다 어렵다 $\log^2 t$ 꼭짓점 (항상 그 모든 꼭지점을 정점에두고 나머지는 무시할 수 있습니다). 그리고 다시, 동일한 가정 하에서 문제에는 다항식 시간 알고리즘이 없습니다.

$p$

— 보아즈 바락
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