유형의 이중성은 어떻게 정의됩니까?

Wadler의 재귀 유형에서 무료로! [1], 그는 두 가지 유형을 시연했다 와 이며, 이중 이라고 주장했다 . 특히, 그는 유형을 지적했다 는 아닙니다 $\forall X . (F(X) \rightarrow X) \rightarrow X$ $\exists X . (X \rightarrow F(X)) \times X$ $\exists X . X \rightarrow (X \rightarrow F(X))$ 전자의 이중. 여기서 문제의 이중성은 논리의 De Morgan 이중성과는 다른 것 같습니다. 나는 언급 된 세 가지 유형에 대해 유형의 이중성이 어떻게 정의되는지 궁금합니다. 왜 두 번째는 첫 번째의 이중이고 왜 세 번째는 그렇지 않습니다. 감사.

[1] http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt

lo.logic type-theory

— 일
소스

나는 여기서 많이 도움이되지는 않지만 범주 이론적으로 들립니다.

— Anthony

답변:

이와 관련하여, 이원성은 어떤 경우 에는 최소 고정 점을, 다른 경우에는 최대 고정 점 을 취하는 것을 의미합니다 . 우리는 어떤 의미에서 인지 이해하려고 노력해야합니다 및 는 재귀 방정식 의 "최소"및 "최대"해입니다 . $L = \forall X . (F(X) \to X) \to X$ $G = \exists X . (X \to F(X)) \times X$ $F(X) \cong X$

우선, 과 고정 점 (의 본질 제한 특정 기술 가정에서 참으로 비교가 매핑 때문에) 및 에 의해 주어진 $L$ $G$ $F$ $v : F(L) \to L$ $w : G \to F(G)$ 및

v x X g = g (F (λ h : L . h X g) x)

$v \, x \, X \, g = g \, (F (\lambda h : L \,.\, h \,X\, g)\, x)$

isomorphisms이다.

가 함수에 적용될 때

는 functor, 즉 모노톤이라는 사실을 사용했습니다.

w (X, (f, x)) = F (λ y : X . (X, (f, y))) (f x)

$w (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, y))) \, (f x)$

F

$F$

가정 어떤 솔루션 중재하는 동형으로 . 그런 다음 우리는 정식지도가 에 의해 정의 된 $Y$ $F(Y) \cong Y$ $u : F(Y) \to Y$

α : L \to Y and β : Y \to G

$\alpha : L \to Y \text{ and } \beta : Y\to G$

와

α f = f Y u

$\alpha \, f = f\, Y\, u$

따라서,

이다적어도우리가 다른 솔루션에에서 매핑 할 수 있기 때문에, 그리고

것입니다가장 큰우리가 어떤 다른 솔루션에서 매핑 할 수 있기 때문이다. 우리는 초기 대수와 최종 대수에 대해 이야기함으로써이 모든 것을보다 정확하게 만들 수 있지만, 나는 대답이 짧고 달콤 해지기를 원하며, 코디는 대수를 설명했습니다.

β y = (Y, (u^{- 1}, y)) .

$\beta \, y = (Y, (u^{-1}, y)).$

L

$L$

G

$G$

$F(X) = 1 + A \times X$ $A$ $A$

— 안드레이 바우어
소스

L

$L$

G

$G$

F

$F$

F (L) \to L

$F(L) \to L$

G \to F (G)

$G \to F(G)$

v

$v$

w

$w$

w

$w$

w^{'} (X, (f, x)) = F (λ y : X . (X, (f, x))) (f x)

$w' (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, x))) \, (f x)$

나는 w'그것이 당신이 동형 이라고 증명했다고 가정 하지만, 그것은 당신에게 유효한 대수를 제공합니까? (나는 그것을해야한다고 추측하지만 잘못 될 수 있습니다 ...) 사각형이 출퇴근처럼 보이지 않습니다.

— CA McCann

그의 메모 : homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/… 에서 Wadler는 첫 번째 버전을 제공합니다. 그러나 그는 그것을 조금 다르게 씁니다 : w (X, (f, x)) = F (unfold X k) (fx). 이것은 대지의 구조가 더 명확하게 나타나도록하고, 거의 즉시 적절한 코어 커프 형태의 정류를 제공합니다. camcann이 말했듯이 다른 버전에서는이 사각형을 출퇴근하지 않는다고 생각합니다.

— 코디

$I$ $\cal C$ $F:{\cal C}\rightarrow{\cal C}$ $F$

$A$ $\cal C$ $α : F (A) \to A$ $\alpha:F(A)\rightarrow A$
화살표로 : 사각형

$I$ $F$ $I$

$in:F(I) \rightarrow I$
$F$ $(A,\alpha)$ $fold: I\rightarrow A$

$I=\forall X.(F(X)\rightarrow X)\rightarrow X$ $fold$

f o l d = λ i : I . i A α : I \to A

$fold=\lambda i:I. i\ A\ \alpha : I\rightarrow A$

i n

$in$

F

$F$ 양성 요구 사항으로 볼 수 있습니다.

$F$ $F$

$Z$ $\cal C$ $ω : Z \to F (Z)$ $\omega: Z\rightarrow F(Z)$
$F$ $\alpha$ $\beta$

$T$

$out:T\rightarrow F(T)$
$F$ $Z$ $cofold: Z\rightarrow T$

$T=\exists X.(X\rightarrow F(X))\times X$

c o f o l d = λ z : Z . (Z, ω, z) : Z \to T

$cofold = \lambda z:Z.(Z,\omega,z) : Z\rightarrow T$

T = \exists X . X \to (X \to F (X))

$T=\exists X.X\rightarrow (X\rightarrow F(X))$

— 코디
소스

$\lambda$ $\pi$

유형을 프로세스 미적분학으로 변환 (분해)하면 이중성이 간단 해집니다. 입력은 출력에 이중이고 그 반대도 마찬가지 입니다. 이중성에는 더 많은 것이 없습니다.

$\pi$ $\alpha = (Bool, Int)^{\uparrow}$ $\alpha$ $\alpha$ $x$ $\overline{x}\langle false,7\rangle$ $\overline{\alpha}$ $(v, w)$ $v$ $w$ $\overline{\alpha}$ $(bool,int)^{\downarrow}$ $\overline{\alpha}$ $x$ $c(v,w).0$

$\beta = (int, (int)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $(v, w)$ $v$ $w$ $\overline{\beta} =(int, (int)^{\downarrow})^{\uparrow}$ $\alpha$ $\overline{\alpha}$ $P$ $\alpha$ $x$ $Q$ $\overline{\alpha}$ $x$ $P$ $Q$ $\beta$ $\overline{\beta}$

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $(v, w)$ $v$ $X$ $w$ $X$ $x$

x (v w) . \bar{w} v

$x(vw).\overline{w}v$

\forall X . (X, (X)^{↑})^{↓}

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$

공정 수준에서 범용 정량화 란 무엇을 의미합니까? 간단한 해석이 있습니다. 데이터가 유형 변수로 입력되면 출력의 대상으로 사용할 수 없으며 객체 만 사용할 수 있습니다. 따라서이 데이터를 검사 할 수 없으며 전달하거나 잊을 수만 있습니다.

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $\exists X.(X,(X)^{\downarrow})^{\uparrow}$

이것의 이론은 [1, 2, 3]에서 좀 더 자세하게 다루어졌고, 어떤 것은 접근하기가 더 어려웠으며, 4 의 극좌표 선형 논리와 이원성의 개념에 매우 정확하게 관련되어있다 .

$\lambda$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$

$\pi$

4 K. Honda et al., 형식화 된 pi-calculus와 polarized proof-nets 사이의 정확한 대응 .

5 R. Milner, 프로세스 기능 .

— 마틴 버거
소스

re : ∀X 유형의 주민 수에 대한 요점. (X, (X) ↑) ↓. pi-calculus에 대한 "자유 정리"의 유사점이 있습니까? 그렇다면 어디서 논의해야합니까?

— Dominic Mulligan

안녕하세요 @DominicMulligan, 그렇습니다. "무료 정리"가 있으며 [1, 2]에서 조금 조사했습니다. 나는이 방향으로 더 많은 것을 말할 수 있다고 생각합니다.

— Martin Berger

@MartinBerger : 매개 변수를 사용하여 입력 된 pi-calculus에 대한 프로세스 동등성의 "올바른"개념이 무엇인지 알아낼 수 있습니까? 예를 들어, 시스템 F에서 파라 메트릭 논리 관계는 문맥 상 동등성에 해당합니다. 유추하여, 프로세스 동등성의 개념이 pi-calculus의 파라 메트릭 논리 관계에 해당하는 것이 특히 흥미로울 것으로 기대합니다.

— 닐 크리슈나 스와미

π

$\pi$

Bisimulation 기반 특성화는 모든 상황에서 폐쇄가 필요하지 않기 때문에 실제 추론에 유용합니다.

— Martin Berger