# 2-SAT의 # P- 완전 서브 패밀리는 무엇입니까?

짧은 버전.

# 2-SAT가 # P- 완전 하다는 원래의 증거 는 사실, 단조로운 (변수의 부정을 포함하지 않음) 및 이분 (모두의 변수는 이분 그래프입니다)는 #P -hard입니다. 따라서 # 2-MONOTONE-SAT 및 # 2-BIPARTITE-SAT의 두 가지 특수 사례는 #P -hard입니다. #P -hard 인 공식의 '자연'속성으로 특징 지을 수있는 다른 특별한 경우가 있습니까?

긴 버전.

문제 2-SAT는 연산의 작업이다 - 부울 수식 $\phi$ 각 절 두 리터의 분리이다 여러 절 연계 이루어진 $x_j$ 또는 $\bar x_j$ 부울 스트링 수 - $x \in \{0,1\}^n$ 이므로 $\phi(x) = 1$ 입니다. 이 있는지 여부를 알아내는 존재 같은 $x$ 간단합니다; 그러나 Valiant가 보여주는 것처럼 일반적으로 솔루션 수를 세는 것은 # P-완료 입니다.열거 및 신뢰성 문제의 복잡성, SIAM J. Comput., 8 , pp. 410–421 .

특히 # 2-SAT의 경우, Valiant가 실제로 보여주는 것은 이분 그래프에서 일치 항목 (불완전한 항목 포함)을 계산하여 # 2-SAT가 감소하여 매우 특정한 구조를 갖는 # 2-SAT의 인스턴스를 발생시키는 것입니다. 다음과 같이.

우선, 단조 문제가 각 변수되는 문제로 교체함으로써, 동등한 유의 어느 화학식 발생 또는 않고 둘. 특히, 모든 변수에 대해 부정 만 발생하는 "모노톤 감소"문제 는 모노톤 경우만큼 정확하지 않습니다. $x_j$ $x_j$ $\phi$ $\bar x_j$ $\bar x_j$
모서리 가 그래프 에 대해 , 변수 를 각 모서리 에 할당하여 일치하는 정점 (정점을 공유하지 않는 모서리 모음)에 해당하는 모노톤 감소 2-SAT 공식을 구성 할 수 있습니다. 에지 세트에 포함되는지 여부; 일치 하는 집합 의 속성은 절이 인 CNF 공식 만족하는 입사 벡터 과 같습니다. $G = (V,E)$ $m$ $x_e$ $M \subseteq E$ $\mathbf x = \chi_M$ $\phi$ $(\bar x_e \vee \bar x_f)$ 정점을 공유하는 모든 모서리 쌍 . 구성함으로써, 가지고 많은 만족 솔루션 그래프 (아마도 불완전한)이 있기 때문에 matchings . $e, f \in E$ $\phi$ $\mathbf x \in \{0,1\}^m$ $G$
일치 값을 세려 는 그래프 가 이분이면 그래프 에는 홀수 사이클이 포함되지 않습니다 . 그래프에서 마지막 가장자리를 두 번 세지 않고 같은 가장자리로 시작하고 끝나는 가장자리 시퀀스로 설명 할 수 있습니다. . 이어서 변수에는 서열이없는 홀수 길이 인접 변수는 일반적인 절에 관여하는. 그런 다음 수식 방식은 앞에서 설명한에서 양자 될 것입니다. $G$ $x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$ $\phi$ $\phi$
$G = (A \cup B, E)$ $A, B$ $n$ $G_k$ $A$ $0 \leqslant k \leqslant n$ $B$ $G$ $G_k$ , 이것들을 세는 것에 의해, 크기 에서의 일치 수 (즉, 완전 매칭)를 결정할 수있다 . 이분 그래프에서 완전 일치 횟수를 계산하는 것은 간단한 대응 으로 행렬의 영구성을 계산하는 것과 같습니다 . $G$ $n$ $\{0,1\}$

#P -hard로 표시되는 # 2-SAT 인스턴스 클래스 는 모노톤 이분 인스턴스입니다.

질문 : 이 감소 또는 다른 감소의 결과로 # P- 완료된 # 2-SAT의 다른 특별한 경우는 무엇입니까 ?

축소를 보여 주거나 인용하는 것 외에도 사람들이 특별 사례가 어떻게 사소한 과제를 세는 자연스러운 접근에 장애를 줄 수 있는지에 대한 직관적 인 이유를 설명 할 수 있다면 흥미로울 것입니다. 예를 들어, MONOTONE-2-SAT는 사소하게 해결할 수 있지만 ( 은 항상 솔루션 임), 모노톤 인스턴스는 일부 변수를 고정 된 값에 할당하면 나머지에 대한 많은 제약 조건이 일상적으로 적용되지 않는 인스턴스입니다 변수. 변수 수정하면 일부 절에서 변수와 관련된 변수의 값만 제한합니다. 설정 $\mathbf x = 1^n$ $x_j = 0$ $x_j = 1$ 다른 변수의 가능한 값을 전혀 제한하지 않습니다. (이분 그래프에 대한 비교 제한이 동일한 방식으로 중요하다는 것은 확실하지 않습니다. 이분 제한은 제거하기보다는 구조를 추가하는 것으로 보이지만 효율적으로 계산하기에 충분한 구조를 추가하지는 못합니다.)

추가하도록 수정했습니다. 보너스 포인트는 이러한 클래스에 수여됩니다 하지 않습니다 # 2 - 양자-SAT는 누구의 경도 위처럼 궁극적으로 모노톤 인스턴스의 존재에 의존 ( 분명히 인해의 포함에 #P 특별한 경우를 -hard # 2 -모노톤-비 타이트-토). 예를 들어, 단조로운 인스턴스에 의존하지 않지만 (다른 하위 패밀리에 의존 할 수있는) # 2-BIPARTITE-SAT의 경도에 대한 주장은 흥미로울 것입니다.

cc.complexity-theory sat counting-complexity

— 닐 드 보드 랩
소스

질문 끝에 정확히 요청한 것이 아니지만 임의의 CNF 수식

주어지면 모노톤이 아니며 다음과 같은 속성을 갖는 2-SAT 수식

를 반환하는 감소가 있습니다. 홀수의 변수가 true로 설정된

에서 짝수의 변수가 true로 설정된

의 해의 수는

의 해의 수와 같습니다 .

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

Ψ

$\Psi$

Ψ

$\Psi$

Φ

$\Phi$

— Giorgio Camerani 2019

나는

도 이분법 이라고 말하는 것을 잊었습니다 .

Ψ

$\Psi$

— Giorgio Camerani

# 3- 레귤러 바이 파 타이트 평면 버텍스 커버는 # P- 완료

정점 커버를 계산하는 것은 모노톤 # 2-SAT 인스턴스 의 만족 할당을 계산하는 것과 정확히 동일하기 때문에 , 위의 결과는 모노톤 및 3- 레귤러 인 # 2-SAT 인스턴스의 만족스러운 할당을 계산하는 것이 # P- 완료임을 의미합니다 그리고 이분 및 평면 .

이는 이미 해당 질문에 인용 된 2 개의 # 2-MONOTONE-SAT 및 # 2-BIPARTITE-SAT 특수 사례 외에 2 개의 # 2-CUBIC-SAT 및 # 2-PLANAR-SAT 특수 사례는 다음과 같습니다. # P- 완료.

— 조르지오 카메라 니
소스