경계 깊이 확률 분포

경계 깊이 계산에 대한 두 가지 관련 질문 :

1) n 비트로 시작하고 비트 i로 시작하려면 확률 p (i)를 독립적으로 0 또는 1로 가정하십시오. (문제가 간단 해지면 모든 p (i)가 0,1 또는 1/2이라고 가정 할 수 있습니다.~~또는 그들 모두 1/2입니다.~~)

이제 제한된 수의 계산 라운드를 만듭니다. 각 라운드에서 분리 된 비트 세트에 가역적 클래식 게이트를 적용합니다. (가장 좋아하는 범용 클래식 가역 게이트 세트를 수정하십시오.)

결국 n 비트의 문자열에 대한 확률 분포를 얻습니다. 그러한 배포 제한에 대한 결과가 있습니까?

나는 Hastad 스위칭 Lememe과 비슷한 것을 찾고 있습니다. Boppana는 전체 영향이 작거나 LMN 정리라는 결과를 얻습니다.

2) 1)과 같은 질문이지만 한정된 깊이 양자 회로에 관한 질문.

— 길 칼라이
소스

나는 무언가를 놓칠 수 있지만, 모든

p (i)

$p(i)$ 가

와 같은 질문 1이

1 / 2

$1/2$ 아닌가?

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$ 에서 균일 분포로 시작 합니다.

— Klaus Draeger

다음은 문제의 유용한 변형입니까? 입력 값 (벡터

) 을 길이

이진 문자열에 대한 확률 분포를 나타내는

길이의 벡터로 변환 합니다. 이제 모든 계산은 길이

출력 문자열에 대한 확률 분포를 생성하기 위해 왼쪽에 작용하는 사각형 확률 행렬 입니다. WLOG 모든 엔트리가 바이너리라고 가정 할 수 있습니다. 유일한 문제는 기본 행렬 (가역 게이트)의 제한된 수의 행렬 곱셈을 통해 생성 될 수있는 확률 이진 행렬의 클래스입니다.

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

— usul

죄송합니다. 더 정확해야합니다. 여기서 기본 행렬은 가역 게이트가 아니라 병렬로 작동하는 가역 게이트 세트를 의미하며 게이트 세트가 주어지면 그러한 행렬이 어떻게 보일지 즉시 알 수 없습니다.

— usul

두 답변 모두 현상금이 필요합니다. 제가 무엇을 할 수 있는지 볼 것입니다

— Gil Kalai

비트의 "비 연속 세트"는 무엇을 의미합니까?

— vzn December

답변:

표본 추출의 복잡성을 다루는 Emanuele Viola 등의 논문이 비교적 최근에 있습니다. 경계 깊이 결정 트리 또는 경계 깊이 회로와 같은 제한된 계산 모델에 중점을 둡니다.

불행히도 그들은 가역 게이트에 대해서는 논의하지 않습니다. 반대로 출력 길이가 종종 손실됩니다. 그럼에도 불구하고이 논문은 좋은 출발점이 될 수 있습니다.

경계 깊이 회로가 양호한 코드를 샘플링 할 수 없음

분포의 복잡성

— 마시모
소스

많은 감사합니다, Massimo! 이것은 매우 관련성이 있습니다.

— Gil Kalai

(또한 나는 비 가역 경우 관심으로 생각합니다.)

— 길 칼라이

짧은 답변.

양자 회로의 경우, 적어도 하나의 비 제한적 결과가 존재한다 : 임의의 한정 깊이 양자 회로는 다항식 깊이 고전 회로의 경우에도 결과의 확률에서 작은 곱셈 오차로 시뮬레이션 할 수 없을 것이다 .

물론 이것은 회로가 실제로 어떤 구조를 가지게 되는지 알려주지 않습니다 . 특히 확률 분포보다는 경계 오차가있는 결정 문제에 관심이있는 경우. 그러나 Håstad의 Switching Lemma 와 같이 의사 결정 트리 측면에서 분석 이 이러한 회로의 고전적인 시뮬레이션을 제공하지는 않을 것입니다. $\mathsf{QNC^0}$

세부

Fenner et al.에 의해 주어진 바와 같이 폴리 로그 깊이 양자 회로의 정의를 고려할 수 있다. (2005) :

정의. 는 각 이 입력 큐 비트를 포함하고 최대 새로운 ancillas를 포함 하는 다항식 가 존재하는 양자 회로 제품군의 클래스 이며 단일 큐 비트 게이트 만 사용합니다. 제어되지 않은 게이트이며 깊이 . $\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ $p(n)$ $O(\log^k(n))$

단일 큐 비트 게이트는 고정 유한 세트에서 가져야하지만, 고정 된 수의 큐 비트에서 고정 된 일체형을 고정 된 정밀도로 시뮬레이션하기에 충분합니다. 또한 회로의 끝 부분에있는 큐 비트의 하위 집합을 회로 제품군의 출력 (예 : 부울 함수의 단일 큐 비트)을 나타내는 데 사용할 수 있습니다.

Bremner, Jozsa 및 Sheppard (2010) 는 Terhal 및 DiVincenzo (2004) 로 인한 게이트 텔레포트 기술의 적용을 사용하여 회로의 일부 큐 비트에 대한 사후 선택을 참고 (섹션 4 참조 ) 가능 문제를 결정할 수있게 . 선택 후 회로 시뮬레이션에 대한 결과를 사용하면 부울 출력 을 갖는 임의의 회로 의 출력 분포에서 최대 샘플링 오류가 최대 인 고전적으로 샘플링하는 문제가 있음을 의미합니다. $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ $\mathsf{QNC^0}$ 다항식 계층 구조가 부분적으로 붕괴되지 않는 한 (특히)랜덤 확률 다항식 회로에서는 샘플링 확률의 가 불가능하다. $\sqrt 2$ $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$

— 닐 드 보드 랩
소스

친애하는 Niel, 매우 흥미 롭습니다! 감사! 특히 배포판에 관심이 있습니다. 왜 "이것이 당신에게 말하지 않는지 ..."를 설명 할 수 있습니까?

— Gil Kalai

불변 상수 상수 결과는 PostQNC⁰ = PostBQP = PP 를 통해 유지됩니다 . 포스트 셀렉션은 여기에서 긴 순간 이동의 "성공을 강요하기"위해 사용되며, 극도로 낮지 만 0이 아닌 확률로 조절되는 양자 상수 깊이 분포를 통한 양자 폴리 깊이 분포를 시뮬레이션합니다. 일정한 근사 계수는 폴리 깊이 회로에서도 마찬가지입니다. 그러나 이것은 당신을 말하지 않는 예 이 위 특정 부분 공간을 절대 (및 점근 적) 측면에서, 집중 (또는 투영 될 수있다) 얼마나 크기에 바인딩됩니다.

— Niel de Beaudrap