비 볼록 이차 프로그래밍을위한 정확한 알고리즘

이 질문은 박스 제약 (box-QP)을 가진 2 차 프로그래밍 문제, 즉 양식의 최적화 문제에 관한 것입니다.

• 최소화 하고 x ∈ [ 0 , 1 ] n에 적용 합니다.$f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$$\mathbf{x} \in [0,1]^n$

가 양의 반정의 라면 , 모든 것이 좋고 볼록하고 쉬울 것입니다. 그리고 우리는 다항식 시간에 문제를 해결할 수 있습니다.$A$

다른 한편으로, 적분 제약 조건 을 가졌다면 , 무차별 힘 으로 시간 O ( 2 n ⋅ p o l y ( n ) ) 의 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다 . 이 질문의 목적 상, 이것은 상당히 빠릅니다.$\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$$O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

그러나 볼록하지 않은 연속 사례는 어떻습니까? 일반 박스 -QP에 가장 빠른 알려진 알고리즘은 무엇입니까?

예를 들어, 와 같이 적당한 지수 시간으로 이러한 문제를 해결할 수 있습니까? 아니면 가장 잘 알려진 알고리즘의 최악의 복잡성이 훨씬 더 나쁜가요?$O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

배경 : 실제로 해결하고자하는 상당히 작은 box-QP가 있으며, 아주 작은 값에서도 일부 상용 소프트웨어 패키지의 성능이 떨어지는 것을보고 약간 놀랐습니다 . 이 관찰에 대한 TCS 설명이 있는지 궁금해하기 시작했습니다.$n$

얼굴에 최적의 솔루션이 있습니다. 따라서 큐브의 모든면을 살펴보고 각면에서 모든 고정 점을 찾을 수 있습니다.

$I_0$$I_1$$i \in I_0$$x_i = 0$$i \in I_1$$x_i = 1$$\tilde{x}$$x$

$\tilde{A}$$\tilde{c}$$d$$0 < \tilde{x} < 1$

이를 위해 목적 함수의 차별화를 통해

이 선형 방정식 시스템을 해결하면 최적의 솔루션 후보 인 고정 점을 얻을 수 있습니다. 우리는 그들 모두를 살펴보고 조건을 확인하고 최소 목표 값을 가진 것을 선택합니다.

$O(3^n \text{poly}(n))$$n$$3^n$$n$