술어 논리에 공식적인 의미론이 필요한 이유는 무엇입니까?

이 질문이 해결되었다고 생각하십시오. 나는 그들 모두가 주제에 대한 나의 이해에 기여했기 때문에 최선의 답변을 선택하지 않을 것입니다.

술어 논리의 의미를 공식적으로 정의하여 어떤 이점이 있는지 확실하지 않습니다. 그러나 나는 공식적인 증거 미적분을 갖는 것이 가치가 있다고 생각합니다. 내 요점은 증거 미적분의 추론 규칙을 정당화하기 위해 공식 의미론이 필요하지 않다는 것입니다.

우리는 "사고의 법칙"을 모방 한 미적분학, 즉 수백 년 동안 수학자들이 자신의 이론을 증명하기 위해 사용한 추론 규칙을 모방 한 미적분을 정의 할 수 있습니다. 그러한 미적분학은 이미 존재합니다 : 자연 공제. 그런 다음이 미적분이 건전하고 완전하다고 정의합니다.

술어 논리의 형식적 의미론은 단지 모델이라는 것을 인식함으로써 정당화 될 수 있습니다. 모델의 적절성은 직관적으로 만 정당화 될 수 있습니다. 따라서, 자연적 추론이 건전하고 의미 적 형식과 관련하여 완전하다는 것을 보여줌으로써 자연적 추론을 더 "참"으로 만들지는 않습니다. 자연 공제 규칙을 직관적으로 직접 정당화하면 마찬가지로 좋을 것입니다. 형식적 의미론을 사용하는 우회는 우리에게 아무것도주지 않습니다.

그런 다음 자연 공제를 건전하고 완전하다고 정의한 후에는 다른 계산의 건전성과 완전성을 표시 할 수 있습니다.

내 반사가 올바른가요? 형식적 의미론을 참조하여 증거 미적분의 건전성과 완전성을 증명하는 것이 왜 중요한가?

사소한 의견과 더 심각한 답변.

첫째, 피아트가 완성한 자연 공제 시스템을 선언하는 것은 이치에 맞지 않습니다. 자연스러운 추론은 일관성 및 / 또는 완전성의 자연스러운 내부 개념, 즉 컷 제거를 가지고 있기 때문에 정확하게 흥미 롭습니다. 이것은 환상적인 이론이며, IMO는 순전히 증명 이론적 의미론을 제공하려는 시도를 완전히 정당화합니다 (CH 대응에 의해 프로그래밍 언어 의미론에서 운영 방법의 사용을 정당화합니다). 그러나 이것은 일관성보다 논리를 올바르게 얻는 더 세련된 개념을 제공하기 때문에 정확하게 흥미 롭습니다. 증명 이론적 인 길을 택하면 더 많은 작업을해야하지만 대가로 더 강한 결과를 얻을 수 있습니다.

그러나 때로는 논리 자체 가 발생합니다.보조 역할을합니다. 우리는 (가족) 모델로 시작한 다음 논리를 사용하여 구문 적으로 이야기하는 방법을 찾을 수 있습니다. 모델 군에 대한 논리의 건전성과 완전성은 논리가 실제로 모델 클래스에 대해 말할 수있는 흥미롭고 진실 된 모든 것을 포착한다는 것을 나타냅니다. 논리 이론보다 모델이 더 흥미로운 경우의 구체적인 예는 프로그램 분석 및 모델 검사에서 발생합니다. 일반적으로 수행 할 작업은 모델을 프로그램 실행으로, 논리를 시간 논리의 일부로 만드는 것입니다. 이러한 언어로 말할 수있는 제안은 (심지어) 설득력이 없어서 (예를 들어, 널 포인터 역 참조가 발생하지 않음) 관심사를주는 실제 프로그램 실행에 적용된다는 사실입니다.

위의 응답을 강화하기 위해 다른 관점을 추가하겠습니다. 첫째, 이러한 반성은 가치가 있으며 많은 사람들이 비슷한 아이디어를 가지고 있습니다. 철학적으로 이것을 "증거 이론적 의미론"이라고하며, Nuel Belnap, Dag Prawitz, Michael Dummett 및 60 년대와 70 년대의 다른 사람들의 작업에 호소하는 사람들은 Gentzen의 자연 공제에 대한 연구에 호소합니다. Per Martin-Löf와 Jean-Yves Girard도 그들의 글에서이 입장의 변형을 제안하는 것 같습니다. 그리고 매우 광범위하게 말하면, 프로그래밍 언어에서 이것은 "건전한 유형에 대한 구문 적 접근"입니다.

문제는 논리 규칙에 별도의 의미 해석이 필요하지 않다는 사실을 받아들이더라도 스스로 정당화되고 그것을 그대로 두는 것은 재미 있거나 유용하지 않다는 것입니다. 문제는 공식적인 의미론이 무엇을 달성하고 더 적은 우회로 동일한 것을 달성 할 수 있는지 여부입니다. 그러나 분석 이론과 모델 이론을 통합하는 프로젝트는 중요하지만 아직 해결되지 않았으며, 범주 논리, 게임 의미론 및 지라드의 "ludics"를 포함하여 다양한 분야에서 적극적으로 추진되고 있습니다. 예를 들어, 찰스 언급 한 것 이외에 갖는 모델의 또 다른 질적 장점은 콘크리트 제공 할 수있는 능력이다 반례 에 비이론과 문제는 "직접적인"접근 방식으로이를 이해하는 방법입니다. 음탕 한 영감을 얻은 대답 은 Michele Basaldella와 Kazushige Terui의 "논리적 완전성의 의미"를 참조하십시오 .

공식적인 의미론은 미적분학 용어를 조작하는 구문 증명 규칙과 독립적으로 용어의 직접적인 의미를 제공합니다. 공식적인 의미가 없으면 공제 규칙이 올바른지 (건전한 지) 또는 충분한 지 (완전한지) 여부를 어떻게 설명 할 수 있습니까?

자연 공제가 발생하기 전에 제안 된 "사고의 법칙"이있었습니다. 아리스토텔레스의 실로 즘은 그러한 컬렉션 중 하나였습니다. 우리가 그것들을 건전하고 완전하다고 정의했다면, 더 진보 된 논리 기술을 개발하기보다는 오늘날에도 그것들을 사용하고있을 것입니다. 요점은, 만약 실로 즘 이 사고의 법칙을 완전히 포착 한다면 , 왜 우리는 더 이상의 논리를 고안해야할까요. 그들이 실제로 일관성이 없다면? 공식적인 증거 미적분학 과 함께 의미론과 그것들을 연결하는 건전성 및 완전성 증명은 그러한 추론 시스템의 가치를 판단하기위한 측정 스틱을 제공합니다. 더 이상 고립되어 있지 않을 것입니다.

제안 된 의미론이 직관적 인 연역 개념에 해당하는지 여부는 철학적 인 문제입니다. 고전 논리와 직관 논리 사이의 차이점을 고려하십시오. 그 본질은 배제 된 중간의 법칙 ( )이 논리적으로 유효한 것으로 간주되어야 하는지의 여부 입니다. 거의 종교적인 작품의 광대 한 양의 직관 논리 (참조의 유효성을 주장 들어갔 직관을 ). 따라서 우리는 단일 공제 개념이 의미가 있는지에 동의조차 할 수 없습니다. Beall과 Greg Restall$X\lor \neg X$심지어 가장 적합한 논리를 사용하여 진정한 논리가 없다는 것을 받아들이고 다원적 태도를 취해야한다고 주장하는 한도까지. 컴퓨터 과학자들이 이용할 수있는 수많은 논리 (선형 논리, 분리 논리, 고차 건설 논리, 많은 모달 논리, 모두 고전적이고 직관적 인 다양성)를 고려할 때, 다원적 태도를 채택하는 것은 우리에게 아마도 두 번째로 주어지지 않은 것입니다 논리는 특정 문제를 해결하는 도구이기 때문에 가장 적절한 것을 선택하려고합니다. 형식적 의미론은 논리의 적절성을 판단하는 한 가지 방법입니다.

형식적 의미론을 갖는 또 다른 이유는 술어 미적분보다 많은 논리가 있기 때문입니다. 이러한 논리 중 다수는 특정 종류의 시스템에 대해 추론하도록 설계되었습니다. (모달 논리에 대해 생각하고 있습니다). 여기서 시스템의 클래스가 알려져 있고 나중에 논리가 나옵니다 (역사적으로도 마찬가지입니다). 다시 말해, 건전성은 논리의 공리가 시스템의 "행동"을 정확하게 포착하는지 여부를 알려주고, 완전성은 공리가 충분한 지 여부를 알려줍니다. 의미론이 없다면, 공제 규칙이 충분하고 넌센스가 아닌지 어떻게 알 수 있을까요?

완전히 구문 적으로 정의되고 공식적인 의미론을 제공하기위한 작업이 여전히 진행되고있는 한 가지 논리는 암호화 프로토콜에 대한 추론을위한 BAN 논리입니다. 논리적 추론 규칙은 합리적으로 보이므로 공식적인 의미론을 제공하는 이유는 무엇입니까? 불행히도, BAN 로직은 프로토콜이 올바르다는 것을 증명하기 위해 사용될 수 있지만, 그러한 프로토콜에 대한 공격이 존재할 수 있습니다. 따라서 추론 규칙은 적어도 예상되는 의미론과 관련하여 잘못 되었습니다.

나는 supercooldave에 동의하지만 논리를 특징 짓는 일부 또는 다른 유추 규칙보다 더 많은 다른 실용적인 이유가 있습니다. 주어진 유추 규칙 세트는 논리를 넣을 때 직면하는 문제의 종류에 대답하는 데 좋지 않은 경향이 있습니다. 쓰다.

힐버트 시스템으로 공리 목록과 몇 가지 규칙에 의해 지정된 논리가있는 경우 일반적으로 시스템에서 주어진 정리를 증명하는 방법을 알아내는 것이 어려울 것이며 이론적 통찰력이 없다면 주어진 제안이 시스템에서 입증 될 수 없음을 증명할 수 있습니다. 전통적인 모델은 유도를 통해 전체 로직을 유지하는 속성을 증명하는 데 좋습니다.

4 가지 종류의 도구는 대부분의 논리학자가 해결하고자하는 문제를 해결하는 데 유용하며 최소에서 가장 의미 적으로 정렬됩니다.

1. 힐버트 스타일의 시스템은 논리의 논리적 결과 관계를 특성화하는 데 적합하며 일반적으로 경쟁 모달 논리와 같은 여러 논리를 분류하는 데 유용합니다.
2. Tableau 시스템은 의사 결정 알고리즘을 공식화하는 데 적합합니다. 일반적으로 논리를 결정할 수 있으면 결정 알고리즘으로 종료 tableau 시스템을 찾을 수 있고, 반 결정 절차를 제공하는 잠재적으로 비 종료 tableau 시스템을 찾을 수 있습니다. 결정 가능성의 복잡성 (즉, 논리의 복잡성 클래스)에 대한 상한을 표시하려는 경우 일반적으로 tableau 시스템이 가장 먼저 보입니다.
3. Gentzen의 자연 공제 및 결과 미적분학과 같은 분석 증거 이론은 추론에 유용한 증거를 나타내며 이론에 대한 보간과 같은 유용한 속성을 증명하는 데 유용한 분석 증거 개념을 제공합니다.
4. 타르 스키 스타일의 모델 이론은 논리에 대한 구문 적 세부 사항에서 거의 완전히 추상화되기 때문에 논리에 대한 추론에 훨씬 유리합니다. 모달 논리와 집합 이론에서는 결과를 전달하는 데 훨씬 능숙하여 그 논리 학자들은 테이블과 분석 증거 이론에 대한 관심이 매우 제한적인 경향이있다.

supercooldave가 직관적 인 논리를 언급 했으므로 배제 된 중간의 규칙이 없으면 모델 이론이 훨씬 더 복잡해지고 분석 증거 이론이 더 중요해지며, 일반적으로 선택의 의미론이됩니다. 범주 이론과 같은 대수 기법은 구문 복잡성으로부터 추상화하기 위해 선호됩니다.