최적의 NP 솔버

수정 SAT의 탐색 양식을 예 NP에 완성 검색 문제. Levin 검색은 어떤 의미에서 최적 인 X 를 해결하기 위한 알고리즘 L 을 제공합니다 . 특히, 알고리즘은 " 일부 P가 리턴 한 y 가 올바른지 여부를 테스트 하면 입력 x 에 대해 가능한 모든 프로그램 P 를 실행 합니다"입니다. 이 프로그램 주어진 의미에서 최적 P 것을 해결할 수있는 문제의 X 시간 복잡도와 t의 $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$$L$$X$$P$$x$$P$$y$$P$$X$ 의 시간 복잡도 t의 L ( N ) 의 L을 만족$t_P(n)$$t_L(n)$$L$

$$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$$

여기서 는 정확한 계산 모델에 의존하는 고정 다항식입니다.$p$

의 최적 성은 다소 강한 방식으로 공식화 될 수 있습니다. 즉, 모든 대 M ⊂ { 0 , 1 } * 및 Q 해결 프로그램 X 약속과 M을 시간 t에 M Q ( N ) 는 시간 복잡도 t M L ( N ) 의 L 에서 입력 제한 M의 만족을$L$$M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$$Q$$X$$M$$t^M_Q(n)$$t_L^M(n)$$L$$M$

$$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$$

여기서 는 고정 다항식입니다. 중요한 차이점은 P ≠ N P 인 경우에도 t M Q ( n ) 은 다항식 일 수 있다는 것입니다$q$$t^M_Q(n)$$P \neq NP$

의 명백한 "약점"은 큰 요소 2 | Q | 이 경계에서. 그것은이있는 경우 알고리즘이와 같은 형태의 바인딩 만족스러운 것을 쉽게 알 수있다 2 | Q | 다항식으로 대체 | Q | 다음 P = N P . 그 이유는 답을 하드 코딩하여 Q 를 주어진 X 인스턴스를 해결하는 프로그램으로 만들 수 있기 때문 입니다. 마찬가지로 2 | Q | | 의 하위 지수 함수로 대체 될 수 있습니다. Q $L$$2^{|Q|}$$2^{|Q|}$$|Q|$$P = NP$$Q$$X$$2^{|Q|}$$|Q|$지수 시간 가설이 위반됩니다. 그러나 다음 질문에 대한 대답은 덜 명확합니다.

(다항식 계층 예 비 퇴화, 일방향 함수 유) 필요에 따라 지수 시간 가설 및 기타 공지 추측을 가정하면, 알고리즘있다 해결 X 마다 위해 성을 M ⊂ { 0 , 1 } * 및 Q 해결 프로그램 X 약속과 M을 시간 t M Q ( N ) 는 시간 복잡도 t M ( N ) 의 A는 입력들에 한정되는 M을 만족$A$$X$$M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$$Q$$X$$M$$t^M_Q(n)$$t_A^M(n)$$A$$M$

$$t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$$

여기서 는 다항식이고, f 는 지수 미만이며 g 는 임의입니다.$q$$f$$g$

대답이 긍정적 인 경우, 캔 다항식? g 의 성장률은 얼마입니까 (ETH 하에서 적어도 지수)? 답이 음수 이면 ETH가 틀리지 만 P ≠ N P 이면 다항식 f 가 존재할 수 있습니까?$f$$g$$f$$P \neq NP$

다음 알고리즘 (Levin 알고리즘의 변형)을 고려하십시오.

첫 번째 알고리즘을 병렬로 실행하십시오 . 또한 가능한 모든 솔루션을 하나씩 시도하는 무차별 대입 알고리즘을 병렬로 실행하십시오. (같은 알고리즘으로 모든 알고리즘을 실행하십시오.)$n$

알고리즘 중 하나가 솔루션을 찾으면 중지하십시오.

두 가지 경우를 고려하십시오 ( 길이 n 의 입력 가 주어짐 )$x$$n$

• $Q$$n$$O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$

• $Q$$n$$n < 2^{|Q|}$$2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

$$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$$

$f(n)$$g(n)$$n$$g(n)$$n$$f(n)$$n$