세트 모음에 포함되지 않은 가장 작은 세트

입력으로서 정수 $n$ 과 { 1 , 요소 세트의 세트 $S$ 가 제공 됩니다. . . , N } , 설정된 찾는 복잡성 무엇 T 의 요소를 { 1 , . . . , N } 되도록 T는 최소한 카디널리티 및 갖는 T가 의 세트 중에 포함되는 S를 ?$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

하자 ,하자 F를 = { S (1) , S (2) , ... , S에 m } ⊆ 2 [ N가 ] 입력 세트 가족 수. 나는 당신의 문제 배합을 오해하지 않는 한, 우리는 최소 크기의 세트 찾으려면 T를 ⊆ [ N ] 등이 T ⊈ S 난 모두를위한 전 = , ... $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$$i = 1, 2, \dotsc, m$ .

귀하의 질문에 대답하려면, T ∩ ( [ n ] ∖ S i ) ≠ ∅ 인 경우에만 유의하십시오 . 즉, T는 각각의 보수 교차하는 S 난을 . 그러나 이것은 문제가 본질적으로 타격 세트 문제 (입력 G = { [ n ] ∖ S i : i = 1 , 2 , … , m } 인 타격 세트 고려)와 동등 함을 의미합니다 .$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

타격 세트. 세트 패밀리 및 정수 k 가 주어지면 | 와 함께 세트 T ⊆ [ n ] 이 있습니까 ? T | 모든 S ∈ F에 대해 ≤ k 및 T ∩ S ≠ ∅ ?$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

타격 세트는 NP- 완전한 것으로 알려져 있으며, 강력한 지수-시간 가설이 실패하지 않으면 느슨하게 말해서 시간 보다 빠르게 풀 수 없습니다 .$O(2^n)$

이 문제는 Set Cover Problem / Hitting Set Problem과 같습니다.

가족 감안할 때 의 부분 집합 { 1 , ... , N } , 세트 찾을 T를 ⊂ { 1 , ... , N } 최소한의 가능한 크기의 가족의 교차 각 세트 $\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$ .

F = { ˉ A : A ∈ S }의 모든 세트와 교차하는 경우에만 가 S의 세트에 있지 않으므로 문제는 Hitting Set Problem 과 같습니다 . (Hitting Set Problem의 인스턴스를 해결하려면 S = { ˉ A : A ∈ F }로 문제의 인스턴스를 해결하면 충분합니다 $T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$ .)

타격 세트 문제는 NP-hard [Karp '72]입니다. 그것에 대한 근사 알고리즘과 근사 결과의 일치 경도가 있습니다 [Lund, Yannakakis '94, Feige '98].$O(\log n)$