알고리즘보다 랜덤 성이 감소에 더 큰 영향을 미치는 이유는 무엇입니까?

임의성이 다항식 시간 알고리즘의 검정력을 확장하지 않는 것으로 추측됩니다. 즉, 는 보류하도록 추측됩니다. 반면, 임의성은 다항식 시간 단축 에 상당히 다른 영향을 미치는 것으로 보입니다 . 용감한 및 Vazirani의 공지 된 결과에 의해, S T는 로 감소 U S T 랜덤 다항식 시간 단축을 통해. N P = U P를 산출 할 것이기 때문에 감소가 비 무작위 화 될 가능성은 낮으며, 이는 거의 불가능하다고 생각된다.${\bf P}={\bf BPP}$$SAT$$USAT$${\bf NP}={\bf UP}$

이 비대칭 상황의 원인은 무엇 일지 궁금합니다. 확률 론적 다항식 시간 알고리즘에서는 무작위 화가 가능하지만 확률 론적 다항식 시간 단축에서는 불가능한 것 같습니다.

먼저, Valiant-Vazirani 감소의 특정 사례에 대해 언급하겠습니다. 이것이 일반적인 상황을 명확히하는 데 도움이되기를 바랍니다.

Valiant-Vazirani 감소는 여러 가지 방법으로 보거나 정의 할 수 있습니다. 이 감소는 만족할 부울 식 매핑 "노력"되는 고유-만족할에 F ' , 그리고 시켰음 F를 시켰음에 F ' . 모든 출력 공식은 항상 F 를 추가로 제한 하여 얻으므로 불만족은 항상 보존됩니다. 환원은 정의 될 수있는 어느 하나의 출력 등의 F를 ' 하거나 목록 출력으로 F ' (1) , ... , F ' t를 . 후자의 경우, 성공의 경우 F $F$$F'$$F$$F'$$F$$F'$$F'_1, \ldots, F'_t$ 갖는 것으로 정의되는적어도 하나의고유 만족할 F ' I 리스트한다. 이 두 변형을 각각 "단일 감소"및 "목록 감소"라고합니다 (표준 용어는 아님).$F \in SAT$$F'_i$

주목해야 할 첫 번째 포인트는 싱글 톤 감소의 성공 확률이 매우 작다는 것입니다. 즉 여기서 n 은 변수의 수입니다. 이 성공 확률을 향상시키는 데 어려움이 논문에서 탐구$\Theta(1/n)$$n$

"Valiant-Vazirani의 분리 가능성이 향상 되었습니까?" Dell et al.

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/151/#revision1

목록 환원에서 성공 확률은 크게 할 수 폴리에 말 ( N ) 2N 크기 목록. 예를 들어 싱글 톤 감소를 여러 번 반복 할 수 있습니다.$1 - 2^{-n}$$(n)$

이제 우리는 성공 확률이 감소를 직접 비 무작위화할 수 있어야한다는 것이 명백하거나 직관적이지 않습니다 . 실제로, 경도 대 임의성 결과 중 어느 것도이 경우에 그렇게 할 수있는 가설을 제시하지 않습니다. 목록 축소가 임의 화 될 수 있다는 사실이 훨씬 더 타당합니다 (목록이 더 큰 경우). 이것은 N P = U P를 의미하지는 않습니다 . 우리의 공식 출력 목록에는 고유하게 만족할 수있는 공식이 많고 만족할만한 할당이 많은 경우가있을 수 있습니다. 명부. $1/n$$NP = UP$

우리는 어떻게 든 만족할 수있는 목록이 감소 줄 수있는 경우에도 항상 목록 유도 F ' 1 , ... , F ' t 대부분 의 F ' J '의 고유 만족할 수있는, 즉로를 설정하는 명확한 방법이 없습니다 격리를위한 결정적인 싱글 톤 감소. 실제 기본 어려움은 우리가 환원 어떤 "고유-만족할 공식에 대한 대략적인-대부분의 작업"의 모르겠입니다 R ( F ' 1 , ... , F ' t$F$$F'_1, \ldots, F'_t$$F'_j$$R(F'_1, \ldots, F'_t)$출력이 고유 가장 만족할 경우이다 대부분의 경우의 고유 만족할 수 있으며, 시켰음 F ' J '의 시켰음이있다. 이것은 또한 일반적인 현상처럼 보입니다. 의사 결정 알고리즘보다 복잡한 객체의 출력을 줄이면 이러한 객체의 속성을 확인하기가 더 어렵 기 때문에 이러한 많은 객체를 단일 객체로 결합하여 대부분의 속성을 상속하는 것이 더 어렵습니다 .$F'_j$$F'_j$

Valiant-Vazirani 사례의 경우, 우리는 를 얻을 수 있다는 , 즉 만족스러운 공식을 ≤ poly ( n )의 만족스러운 공식으로 결정적으로 줄일 수 있다고 가정 할 수없는 무 정규화 가정에서도 보이지 않는 것 같습니다 솔루션. 직관적으로 이것은 분리 절차 가 주어진 화학식 F 의 용액 세트의 거친 크기조차도 알지 못한다는 사실에서 비롯됩니다 .$NP = FewP$$\leq$$(n)$$F$

오라클 세계에서는 무작위성이 우리에게 더 많은 힘을주는 사례를 쉽게 제시 할 수 있습니다. 예를 들어, 균형 불리언 함수의 0을 찾는 문제를 고려하십시오. 무작위 알고리즘 은 일정한 성공 확률로 쿼리 를 사용 하는 반면 결정 론적 알고리즘에는 적어도 n / 2 쿼리 가 필요하다는 것을 달성 합니다.$O(1)$$n/2$

무작위 배정이 도움 이 될 것으로 의심되는 또 다른 상황 이 있습니다. matroid 제약 조건에서 모노톤 하위 모듈 함수를 최대화한다고 가정합니다. 거기 수득 개의 상이한 알고리즘하다 근사하고이 Vondrák의 결과에 의해 모델이 최적이다. 두 알고리즘 모두 E x ∼ X f ( x ) 형식의 함수를 계산해야합니다 . 여기서 $1-1/e$$\mathbb{E}_{x \sim X} f(x)$$X$지수 지원이 포함 된 배포판입니다. 이 함수를 계산하는 것은 너무 비용이 많이 들지만 샘플링으로 근사 할 수 있으며 결과는 무작위 알고리즘입니다. 대조적으로, 가장 잘 알려진 결정적 알고리즘, 그리 디 알고리즘은 제공 근사치.$1/2$

제한되지 않은 하위 모듈 식 최대화에서도 비슷한 상황이 발생합니다 (여기서는 기능이 반드시 모노톤 일 필요는 없음). 최근 획기적인 알고리즘은 최적의 제공 근사하지만, 그 결정 버전 만 제공 (1) / 3 근사합니다. 여기서 무작위 화는 모노톤의 경우와 정확히 같은 방식으로 또는 다른 버전의 알고리즘에서 무작위로 선택하여 나타납니다.$1/2$$1/3$

후자의 종이 추측의 저자 중 하나는 결정적 알고리즘을 달성 할 수있는 최선의, 그리고 우리가 할 수있는 유사 추측하는 (1) / 2 이전 문제에 달성 할 수있는 최선이다. 이러한 추측이 사실이라면, 이것은 무작위 배정이 도움이되는 매우 자연스러운 상황입니다.$1/3$$1/2$

최근 Dobzinski와 Vondrák은 RP와 다른 NP에 따라 조건부 하한값 (랜덤 화 알고리즘의 경우)을 경도 결과로 변환하는 방법을 보여주었습니다 (핵심 요소는 목록 디코딩). 변환은 오라클 하한을 증명하는 데 사용되는 특정 방법에 의존한다는 점을 언급해야합니다. 아마도 결정 론적 가치 오라클 하한도 경도 결과로 해석되는 것이 사실입니다.

에서 U P 로의 무작위 감소 에서 B P P 에서 P 로의 비교 가능한 것보다 더 분명한 (또는 추측 된) 힘이 있다고 생각하는 것이 이상하게 보일 수있는 한 가지 이유는 다음과 같습니다 . 임의성을 "기계"에 추가 한 것과 무관하게 강력한 (또는 강력하지 않은) 것으로 생각하려는 유혹 (이 복잡한 클래스를 기계 모델에서 발생하는 클래스로 캐리 케이트하는 경우).$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf P$

그러나 이러한 다른 힘의 감소는 존재합니다. 실제로, 임의성과 같은 계산 자원은 반드시 "유의 한"또는 "유의하지 않은"고정 된 양의 계산 능력을 가질 필요는 없다.

, P , B P P , B Q P , ⊕ P 또는 P S P A C E와 같이 복잡도가 낮은 모든 복잡성 클래스는 다음 과 같은 기계 모델에 적합합니다. 기계는 항상 어떤 시점에서든 질문을 할 수있는 잘 정의 된 상태를 유지하면서 계산은 사용자가 요구하는 질문을 넘어 계속할 수 있도록합니다. 본질적으로 기계는 하나의 알고리즘을 서브 루틴으로 시뮬레이션 할 수 있습니다. 다른. 계산을 수행하는 기계는 특히 현실적 이지 않을 수 있습니다$\mathsf L$$\mathsf P$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PSPACE}$우리가 (자원에 대한 실제적인 제약으로 자신을 제한하는 경우 예를 들어,  관심의 문제에 대한 낮은 수준의 다항식 시간에 생산 답변 물리적으로 실현 및 수)를하지만, 같은 클래스와 달리 -하는 우리는 결정적 기계가 생산할 수있는 방법을 몰라 또 다른 문제에 대한 해답 N P 및 접속어와 논리합 진실 테이블 감소 (반복)을 제외하고 어떤 식 으로든 답을 사용 - 우리가 수행을 조사 할 수있는 잘 정의 된 상태로 기계에 의해 구현되는 등의 클래스를 상상 우리를 심하게 길로 인도하지 마십시오.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

우리가이 입장을 취한다면, 우리는 이러한 계산 모델 에 무작위성 또는 비결정론과 같은 추가 기능을 제공하면 어떤 일이 발생하는지 물어볼 수 있습니다 . (이러한 추가 시설은 특히 비결정론의 경우 기계 모델이 해석 할 수있는 속성을 보존 할 필요는 없지만 '새로운'클래스를 발생시킵니다.)이 추가 시설이 모델에 더 많은 힘을 주면 클래스 C에 대해 , 이것은 사실상 그 기능을 사용하여 C 에서 M 으로 감소 , 예를 들어  무작위의 경우 무작위 감소 가 있다고 말하는 것과 동등하다 .$\mathsf M$$\mathsf C$$\mathsf C$$\mathsf M$

저 자신을 위해 저급한 클래스로 이것을 설명하는 이유는 우리가 그것들이 "다른 세계에서 가능한 계산 모델"이라고 진지하게 고려할 때, 무작위 감소에 관한 당신의 질문은 무작위 성인 것 같습니다. 일부 모델의 성능은 크게 향상 시키지만 다른 모델은 그렇지 않습니다 .

$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} \subseteq \Sigma^{\mathsf p}_2 \cap \Delta^{\mathsf p}_2$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

$\mathsf{PH}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{BPP} \approx \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$"무작위에는 힘이 없다"는 것이 아니라 임의성 만으로 (또는 다항식 시간 계산만으로 보완되고 결정 론적 계산 모델에 제공됨) 강력하지 않습니다. 그러나 이것은 다른 계산 자원에 의해 촉매 될 수있는 임의의 힘이 없다는 것을 의미하지는 않습니다.