“P”와“NP-hard”의 아늑한 동네

알고리즘 작업으로 하자 . (결정 문제 나 최적화 문제 또는 다른 작업이 될 수 있습니다.) X 가 NP-hard 라고 가정 하면 다항식 계층 구조가 붕괴 된 것으로 알려진 경우 X를 "다항식 측"이라고 하겠습니다. 하자 우리는 전화 X를 가정하는 경우 "는 NP-측에" X가 다항식 알고리즘이 다항식 계층 구조의 붕괴 것을 의미하는 것으로 알려져있다 인정한다.$X$$X$$X$$X$$X$

물론, P의 모든 문제는 다항식 측에 있으며 NP-hard 인 모든 문제는 NP 측에 있습니다. 또한 예를 들어 팩토링 (또는 NP 교차점 coNP의 모든 것)은 다항식 측에 있습니다. 그래프 동형은 다항식입니다. 양자 샘플링은 NP 측에 있습니다.

1) 나는 다항식 측면에서 그리고 (특히) NP 측면에서 더 많은 예제에서 (가능한 한 자연스럽게) 알고리즘 과제에 관심이 있습니다.

2) 순진하게 NP 측은 NP- 하드 문제의 일종의 "인접한 이웃"이고 P 측은 "P의 이웃 한"인 것으로 보인다. NP 측의 문제를 P 측의 문제와 비교하여 "상당히 더 어려운"것으로 간주하는 것이 올바른 통찰력입니까? 또는 NP 측면의 문제를 "도덕적으로 NP-hard"라고 생각 하는가?

3) (이것은 명백하지만 보이지는 않습니다) 양쪽에 가 있거나 그러한 X 가 가능하지 않다고 믿을 이론적 이유 가 있습니까? 업데이트 답변은 예입니다. 아래의 Yuval Filmus의 답변을 참조하십시오.$X$$X$

(이 "측면"이 실제 복잡성 클래스와 관련이 있고 관련 cc 전문 용어 나 관련 결과가 누락 된 경우 알려주십시오.)

최신 정보:이 질문에 대한 몇 가지 아주 좋은 답변이 있습니다. Yuval Filmus에 의해 처음 언급되고 다시 언급 된 바와 같이,이 질문은 공식적이지 않으며 X가 P- 측 / NP- 측에 있다는 것을 보여주는 주장에 대한 제한이 필요합니다. (그렇지 않으면 X가 양쪽에있는 0 = 1의 증거를 제시하도록 할 수 있습니다.)이 점을 제외하면 NP 측의 문제 X (일반적으로)가 어떻게 든 경도를 캡처하는 경우가 있습니다 SAT의 경도가 입증 될 수있는 방식으로 (약간이라도) 약 해지는 P 측의 일부 문제에 대해서도 마찬가지 일 수있다. Yuval Filmus는 양쪽에 약화 된 SAT 버전을 제공했습니다. Andy Drucker는 Schöning의 Low 및 High 계층에 대한 참조를 포함하여 5 가지 흥미로운 예를 두 가지 답변으로 제시했으며 Scott Aaronson은 더 흥미로운 예를 제시했습니다. NP 경도에 가깝지만 P면에 가까운 단방향 함수를 뒤집는 문제를 언급했으며 그의 답변은 흥미로운 QUANTUMSAMPLING 사례에 대해서도 설명합니다. 나는 Feige와 Lund에 의해 이런 종류의 오래된 결과를 언급했다.

"P- 측"과 "NP- 측"이라는 용어와 질문 제목은 P를 둘러싼 "아늑한 이웃"과 NP- 어려운 문제를 둘러싼 다른 "아늑한 이웃"을 상상하도록 권장합니다. 그러나 나는이 두 이웃이 전혀 "아늑하다"는 것이 아니라고 주장하고 싶다!

첫 번째 관찰로서, "P- 측"에는 P보다 NP-hard에 "도덕적으로"더 가깝게 보이는 문제가 있습니다. 물론 Gil이 예상 한 한 가지 예는 일방 함수를 뒤집는 일반적인 문제입니다 ( 정확히 어떤 유형의 축소가 허용되는지에 따라 다릅니다 (Bogdanov-Trevisan 또는 Akavia et al. 참조).

반대로, NP 측면에서 "임의로 멀어"보이는 "NP 측"문제도 있습니다. 한 가지 어리석은 예는 확률 1보다 L 인 랜덤 언어 L입니다! 이러한 L이 P에 있으면 0 = 1이고 수학이 일치하지 않으므로 PH도 축소됩니다. ;-디

(임의의 언어 L 도 L 보다 1이 확률이 높은 "P- 측"에 있습니다. 거의 모든 L에 대해 NP가 강하면 NP⊆BPP와 PH가 무너지는 특성이 있습니다. Ladner Theorem에 대한 호소보다 훨씬 더 간단한 증거를 제공합니다. 두 언어 모두에 언어가 존재한다는 사실입니다. 양쪽에 있습니다!)

이것은 청소년 게임 플레이처럼 들리지만 그것에 대해 배우고 싶은 심각한 교훈이 있습니다. 비록 퀀텀 샘플링이 공식적으로 "NP 측"에 있지만, 그 문제는 L이었던 언어보다 "도덕적으로 NP가 딱딱한"것에 거의 가깝지 않다고 주장합니다. Arkhipov와 I (및 독립적으로 Bremner-Jozsa-Shepherd)는 퀀텀 샘플링이 P (또는 SampBPP, 다항식으로 해결할 수있는 샘플링 문제의 클래스) 인 경우 P ^#P = BPP ^NP 이므로 다항식 계층 구조가 축소됩니다. 그러나 BPP 시스템이라면 BosonSampling의 오라클은 우리가 아는 한 무작위 오라클보다 NP- 완전 문제를 해결하는 데 더 가까이 가지 않을 것입니다. 당신이 경우에만 이미 NP 완전 문제를 해결하는 능력이 - 말을,^NP 머신-BosonSampling 오라클이 귀하의 기능을 #P로 더욱 향상 시킨다는 것을 "알립니다". 그러나 NP를 #P까지 올리는 속성은 스스로 NP-hard라는 속성과는 다르고 심지어 "직교적인"것처럼 보인다.

덧붙여서, Gil의 질문에 의해 제시된 놀라운 개방형 문제는 BosonSampling이 "P 측"에 있는지 여부입니다. 즉, NP가 BosonSampling으로 줄어들면 PH가 붕괴된다는 것을 보여줄 수 있습니까? 나는 명백한 것을 놓칠 수도 있지만 언뜻보기에 그러한 것을 증명하는 방법에 대한 단서가 없습니다 .NP ⊆ BQP이면 PH가 붕괴된다는 더 강한 의미를 입증하는 방법을 알 수 있습니다.

두 가지 의견은 어느 쪽도 대답에 해당하지 않지만 유용한 추가 자료를 제공 할 수 있습니다.

$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

분명히,이 문제가 NP-hard 가 아니 거나 어떤 의미에서든 쉽다 는 확실한 증거는 없습니다 . 그러나 NP의 다른 어려운 문제와는 상당히 다릅니다. 나는 이것이 NP- 중간 문제의 가장 흥미로운 후보 중 하나이며 잘 알려진 것은 아니라고 생각합니다.

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

Bodlaender, Downey, Fellows 및 Hermelin의 질문에 대해 Fortnow와 Santhanam은 이러한 압축 감소가 폴리 계층 구조를 무너 뜨릴 가능성이 낮다는 것을 보여주었습니다.

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

결과는 일방적 인 오류를 허용하는 무작위 감소에 적용됩니다. 양면 오류에 대한 해당 결과를 입증했습니다.

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(이러한 각 논문은 실제로 위에 인용 된 결과보다 더 강력하고 구체적인 정보를 제공합니다.)

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Feige and Lund에 의해이 결과에 도달했습니다. 이는 다항식 계층 구조가 붕괴되지 않는 한 임의 행렬의 영속성에 대한 매우 부분적인 정보조차 추측하기 어렵다는 것을 보여줍니다.

Uriel Feige와 Carsten Lund, 랜덤 매트릭스의 영구성을 계산하는 어려움 계산 복잡성 6 (1996/1997) 101-132.

Uri Feige가 주목 한 두 가지 추가 관련 결과도 언급하겠습니다.

다음 두 논문은 커널 화 (고정 매개 변수 다루기 쉬운 알고리즘)와 관련하여이를 적용합니다.

Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Danny Hermelin : 다항식 커널이없는 문제. J. 컴퓨팅 시스. 공상 과학 75 (8) : 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam : 인스턴스 압축 및 간결한 PCP를 NP에 사용할 수 없습니다. J. 컴퓨팅 시스. 공상 과학 77 (1) : 91-106 (2011)