희소 그래프의 규칙 성 정리

Szemeredi의 규칙 성 Lemma는 모든 고밀도 그래프는 $O(1)$ 많은 이분자 확장 그래프 의 합집합으로 근사 될 수 있다고 말합니다 . 보다 정확하게는 대부분의 정점이 $O(1)$ 세트 로 분할되어 대부분 의 세트 쌍이 이분 확장기를 형성합니다 (파티션의 세트 수 및 확장 매개 변수는 근사 매개 변수에 따라 다름).

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

"잘 동작하는"희소 그래프에 대한이 정리의 버전이 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

이들 제제에 대해 놀랍게도, 이들은 파티션 이분자 팽창기 형태 의 대부분 의 세트 쌍 만을 보장 하며, 이들 이분자 팽창기는 비어있을 수 있다는 것이다. 따라서 일반적으로 희소 그래프에서는 꼭짓점의 파티션에서 다른 부분 사이의 모든 가장자리가 확장기에 속하지 않을 수 있습니다.

부품 사이의 대부분의 가장자리가 확장기에서 나온 것인지 또는 그러한 공식에 대한 희망이 없는지 궁금합니다.

graph-theory co.combinatorics expanders

— 다나 모시 코 비츠
소스

그러나 밀도가 높은 그래프 용 thm이 희소 한 그래프에서 어떤 방식으로 분해되는지 직관적이지 않습니까? 위키피디아 참조 링크는 실제로 확장기 그래프에 대해서는 아무 말도하지 않으며, 이는 실제로 나중에 해석 / 수식 일 수 있음을 시사합니다 ...

— vzn

(1) 정상적인 동작 쌍 세트에 대한 일반적인 용어는 "일반 쌍"(Wikipedia의 "의사-랜덤"쌍)입니다. 나는이 용어가 더 자연스러워서 "이분 확장기"로 대체했다. 어쨌든, 쌍의 양쪽에서 충분히 큰 부분 집합을 선택하면 부분 집합 사이의 모서리 수는 쌍의 모서리 수에 비례합니다. (2) 물론 조밀 한 그래프에 대한 진실은 희소 그래프에 대한 진실이 아닙니다. 제 질문은 조밀 한 경우의 속성이 드문 경우에 계속 유지되는 정도에 관한 것입니다.

— Dana Moshkovitz

아래는 오랜 시간 동안의 대답이지만 일반적인 경우에는 tl; dr 이 그러한 공식에 대한 희망은 없지만 규칙적인 부적절 성을 갖는 희소 그래프의 많은 특정 클래스에는이 공식이 존재합니다.

배경에는 SRL의 두 가지 인기있는 버전이 있습니다. 고정 된 $\varepsilon > 0$ 및 $n$ 노드 그래프 $G = (V, E)$ 에 대해 $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ 를 $p = O_{\varepsilon}(1)$ 부분으로 분할 할 수 있습니다 . ..

(조합 어구) (1) $|V_0| \le \varepsilon n$ 임의의 크기 $V_1, \dots, V_p$ 최대 차이가 $1$ ( $V_0$ 은 "탁월한 세트"라고 함), (2)를 제외한 모든 $\varepsilon p^2$ 나머지 부분의 쌍 $(V_i, V_j)$ 충족
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε for all S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ (여기서 $d(\cdot, \cdot)$ 는 부품 간 밀도, 즉 존재하는 모서리의 비율을 나타냄).

(분석 어법)는 분들께
$d i s c (V_{i}, V_{j}) := max_{S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}} | V_{i} | | V_{j} | | d (V_{i}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ 우리는 $\sum_{i, j = 0}^{p} d i s c (V_{i}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

"조합 적 구문"(방금이 이름을 만들었고 표준이 아님)은 독창적이고 아마도 더 유명한 반면, "분석적 구문"은 더 현대적이고 그래프 한계와 관련이 있습니다 ( 여기서 대중화되었다고 생각합니다)). 내 눈에 분석적인 것은 "이분자 확장기의 합집합에 의해 근사 된 그래프"의 올바른 공식화이다. 왜냐하면 그것은 그러한 근사치의 총 "오류"에 대한 통제를 제공하기 때문이다. 그러나이 시점에서 이것은 단지 화장품입니다. 왜냐하면이 두 문구가 동등하다는 것은 쉽지만 중요한 사법이기 때문입니다. 조합에서 분석에 이르기까지 노조는 불규칙 부품의 불일치와 탁월한 세트에 기여했습니다. Analytic에서 Combinatorial로 이동하려면 예외 세트에 너무 많은 불일치를 일으키는 부분을 이동하고 Markov의 불평등을 적용하여 질량을 제어하십시오.

이제 규칙 성이 부족합니다. 희소 규칙의 목적은 대체하는 $\varepsilon$ 로 각 불평등을 $\varepsilon d(G)$ , $d(G)$ 모든 가능한 에지에 존재하는 분획물 인 $G$ . 비판적으로이 변경으로 인해 두 구절이 더 이상 동일하지 않습니다. 오히려 분석 문구가 더 강력합니다. 여전히 이전과 같이 조합을 암시하지만 조합은 일반적으로 분석을 암시하지 않습니다 (OP에서 예상 한대로) 예외 세트 또는 비정규 사이에 많은 밀도를 잠재적으로 숨길 수 있기 때문입니다. 부품 쌍. 실제로,이 분리는 공식적입니다. 밀도가 높은 SRL의 하한 그래프 (예 : 이 그래프)는 일반적으로 분석 문구가 희소 그래프로 확장되지 않음을 의미하지만, OP에 링크 된 Scott의 논문은 조합 문구를 보여줍니다 실제로 조건없이 모든 희소 그래프로 확장됩니다.

OP에 연결된 설문 조사는 주로 "상위"스파 스 그래프에 대한 SRL에 대해 이야기합니다. 이는 대략 그래프가 일정한 요인 이상으로 평균보다 밀도가 높은 컷이 없음을 의미합니다. 이러한 특정 그래프의 경우, 조합 및 분석 문구는 동등합니다. 예외적 인 부분에 너무 많은 추가 질량이 숨겨져있어 불일치에 대한 기여가 밀도가 높은 경우와 같이 결합 될 수 있기 때문입니다. 따라서이 그래프는 "이분자 확장기의 합집합"으로 해석됩니다.

마지막으로, 나는이 문구들 사이의 동등성을 암시하는 많은 다른 가설이 문헌에 언급되어 있음을 언급해야한다. 예를 들어, $L_p$ 상한 규칙 ( 여기 정의 )은 상한 규칙보다 일반적이며 동등성을 암시하기에 충분합니다. 그러나이 그래프 클래스와 다른 사람들의 경우 약한 규칙 성 정리 만 알고 있습니다.

— GMB
소스

또한, 스레드 괴사에 대한 사과-이것은 현재 조명 리뷰와 일치하여 내가 찾은 것을 공유 할 것이라고 생각했습니다.

— GMB