고유 값 계산의 공간 복잡성은 무엇입니까?

매트릭스 랭크, 고유 값 계산 등과 같은 일반적인 선형 대수 연산의 공간 복잡성에 대한 결과를 다루는 설문지 또는 책을 찾고 있습니다. 나는 시간이 아니라 작업 공간 복잡성을 의미하는 "공간 복잡성"부분을 강조합니다. 시간 결과를 추적하기가 더 쉽습니다. 문제에 대한 언급을 부탁드립니다.

감사.

linear-algebra space-complexity

— 길
소스

내 생각에 복잡성은 항상 최대 선형 적입니다 (예 :

행렬의 경우

). "전체 공간"또는 "작업 공간"에 관심이 있습니까?

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus

작업 공간에 관심이 있다고 언급 했어야합니다.

— 길

나는 확실히 그것의 해요

에 대한

행렬. 기본 이유는 두 가지 유용한 방법을 계산하는 방법을 알고 있기 때문에 공간에서 이차입니다. 우선 특징적인 다항식 (2 차)을 계산하고 근을 찾는 것입니다. 두 번째는 수정 된 행렬을 모두 저장 해야하는 근사법을 사용하는 것입니다 (그러나이를 자세히 설명 할 수는 없지만 수치 선형 대수학을 연구 한 이래로 오랜 시간이 걸렸습니다).

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— yo

@Yuval Filmus의 요점을 확장하기 위해 공간 복잡성은 특정 계산 모델에 매우 민감합니다. 특히, 출력이 선형 크기이므로 모델이 쓰기 전용 출력 테이프를 명확하게 지정하지 않는 한 출력 테이프를 작업 공간으로 사용하여 트릭을 재생할 수 있습니다. 이러한 문제를 피하기 위해 의사 결정 문제로 바꾸려는 유혹에 빠질 것입니다 (예 : 입력 3 행렬로 주어지면 세 번째가 처음 두 행렬의 곱인지 확인하십시오). 염두에 둔 모델을 지정할 수 있습니까? (또한 공간 복잡성에 대한 책을 알지 못했으며 유용한 설문 조사도 찾지 못했습니다.)

— András Salamon

@ AndrásSalamon과 관련하여 나에게 유용한 의사 결정 버전은 다음과 같습니다. k보다 큰 k 번째 고유 값은 q입니다. 정수 k 및 유리수 q에 대해. 감사.

— Gil

답변:

정수 (또는 유리수)에 대한 선형 대수학에서 많은 일반적인 문제의 결정 버전은 클래스 에 있습니다. $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock, Carsten Damm, Ulrich Hertrampf, Christoph Meinel : Logspace-MOD 클래스의 구조와 중요성. 수학 시스템 이론 25 (3) : 223-237 (1992)

는 $\mathsf{DET}$ $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$ 있습니다.

고유 값 계산은 좀 더 섬세합니다.

1) $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$ 에서 특성 다항식의 계수를 계산할 수 있습니다.

2) 그런 다음 Reif 및 Neff의 병렬 알고리즘을 사용하여 고유 값에 대한 근사값을 계산할 수 있습니다. 이 알고리즘은 다 항적으로 많은 프로세서를 사용하여 CREW-PRAM에서 로그 시간으로 실행되므로 다항식 공간으로 시뮬레이션 할 수 있습니다. (이 문서에 명시 적으로 언급되어 있지는 않지만 PRAM은 로그 공간 균일해야합니다.) 사용 된 공간은 입력 행렬의 크기와 정밀도 의 다항식입니다 . 정밀도 는 의 가산 오차까지 근사값을 얻음을 의미합니다 . $p$ $p$ $2^{-p}$

이것은 다 로그 공간에서 계산할 수있는 함수의 연결입니다. (출력 테이프는 쓰기 전용이며 단방향입니다.)

C. Andrew Neff, John H. Reif : 복잡한 근본 문제에 대한 효율적인 알고리즘. J. 복잡성 12 (2) : 81-115 (1996)

— 마르쿠스 블 레저
소스

최근 Ta-Shma [STOC 2013]는 매트릭스의 스펙트럼 근사가 양자 로그 공간에서 수행 될 수 있음을 보여 주었다. 따라서 스펙트럼 근사는 랜덤 코인 이있는 DSPACE ( )에 있으며 실제로 랜덤 코인을 사용 하여 에서 수행 할 수 있다고 생각합니다 . 이는 행렬 곱셈을 반복하기 때문입니다. $log^2$ $NC^2$

— 리어 엘더
소스