소음 연산자의 확장

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현재 작업중 인 문제에서 소음 연산자의 확장이 자연스럽게 발생하며 이전 작업이 있었는지 궁금합니다. 먼저 실수 부울 함수에 대한 기본 노이즈 연산자 $T_{\varepsilon}$ 을 수정하겠습니다 . 주어진 함수 $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ 및 $\varepsilon$ , $p$ 세인트 $0 \leq \varepsilon \leq 1$ , $\varepsilon = 1 - 2p$ 우리 정의 $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ 로서 $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ 는 비트 벡터의 각 비트를 확률 와독립적으로 로 설정하고그렇지 않으면 으로 설정하여 얻은 대한 분포입니다. 마찬가지로이 과정을 각 비트를 독립적 인 확률 로 뒤집는 것으로 생각할 수 있습니다. 이제이 잡음 연산자는 곱셈 하고 좋은 고유 값과 고유 벡터 ( 포함하여 많은 유용한 속성을 갖습니다. $y$ $n$ $1$ $p$ $0$ $x$ $p$ $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ 여기서 는 패리티 기준에 속합니다. $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ $\chi_S$

이제 로 나타내는 확장명을 정의하겠습니다 . 은 로 주어집니다 . 그러나 우리의 분포 $T_\varepsilon$ $R_{(p_1,p_2)}$ $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ 우리가 플립되도록 인비트에확률로 과의 비트에확률과 . ( 는 이제함수가 평가되는의존하는 분포입니다. 이면 는 '일반적인'노이즈 연산자로 줄어 듭니다.) $\mu_{p,x}$ $1$ $x$ $0$ $p_1$ $0$ $x$ $1$ $p_2$ $\mu_{p,x}$ $x$ $p_1 = p_2$ $R_{(p_1,p_2)}$

궁금합니다.이 연산자 이미 문헌 어딘가에서 잘 연구 되었습니까? 아니면 기본 속성이 분명합니까? 부울 분석으로 시작하기 때문에이 이론보다 더 익숙한 사람에게는 간단 할 수 있습니다. 특히 고유 벡터와 고유 값에 멋진 특성이 있는지 또는 곱셈 속성이 있는지에 관심이 있습니다. $R_{(p_1,p_2)}$

boolean-functions fourier-analysis

— 아미르
소스

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질문의 두 번째 부분에 대답하겠습니다.

I. 고유 값과 고유 함수

먼저 1 차원 케이스 고려해 봅시다 . 그것은 쉽게 확인할 수 있다는 운영자 개의 고유 함수를 갖는다 : 및 고유치와 과 $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

각각.

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

이제 일반적인 경우를 고려하십시오. 들면 ,하자 . 그 관찰 의 고유 함수 인 . 실제로 모든 변수 는 독립적이므로 $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

우리가 얻을 의 고유 함수이다 고유치와가 모든 대 . 함수 는 전체 공간에 걸쳐 있으므로 $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ 다른 고유 함수가 없습니다 ( 의 선형 조합이 ). $\xi_S(x)$

II. 곱하기 속성

일반적으로, "곱셈 속성"를 보유하지 않고 의 eigenbasis 보낸 에 따라 과 . 그러나이 $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = (1 - p_{1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = (1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'} & = 1 - p_{1} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - (p_{1} + p + 2) (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - 2 (p_{1} + p_{2}) + (p_{1} + p_{2})^{2} = (1 - p_{1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

III. Relation to the Bonami—Beckner operator

Let us think of functions from $\{0,1\}^n$ to ${\mathbb R}$ as polylinear polynomials. Let $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$ . Consider the operator

A_{δ} (f) = f (x_{1} + δ, \dots, x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$ It maps every multilinear polynomial

f

$f$ to a multilinear polynomial

A [f]

$A[f]$ . We have,

R_{p_{1}, p_{2}} (f) = A_{δ}^{- 1} T_{ε} A_{δ} (f),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$ where

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$ . Note that parts I and II follow from this formula and properties of the Bonami—Beckner operator.

— Yury
소스

Yury, thank you for the answer! That's a good starting point for me to work with; I should now be able to work out if there are analogues of the hyper contractive inequality. Will post back here if I get any more interesting analysis.

— Amir

This is very long after the fact, but I am curious how you derived the third part and the relation to the Becker Bonami operator?

— Amir

(a) It is sufficient to check the identity for

f = 1

$f=1$ and

f = x_{i}

$f=x_i$ . If it holds for

1

$1$ and

x_{i}

$x_i$ , then it's easy to see that it holds for all characters. By linearity, it holds for all functions. (b) Alternatively, from I,

T_{ε}

$T_\varepsilon$ and

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$ have the same set of eigenvalues; eigenvector

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$ of

T

$T$ “corresponds” to eigenvector

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$ of

R

$R$ . Thus

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$ where A is a linear map that maps

ξ (x)

$\xi(x)$ to

x

$x$ .

— Yury

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We were eventually able to analyze hypercontractive properties of $R_{p_1, p_2}$ (http://arxiv.org/abs/1404.1191), building off of the main Fourier analysis of $R_{p,0}$ by Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris (http://arxiv.org/abs/1108.0310).

To summarize, the effect of a biased operator $R_{p,0}$ on a function $f$ can be analyzed as a symmetric noise operator in a biased measure space. This gives a weak form of hypercontractivity, which depends on how the $\ell_2$ norm of $f$ varies when switching to a choice of biased measure $\mu$ dependent on $p$ .

— Amir
소스

You might want to 'accept' this answer so that the question doesn't keep popping up (disclaimer: I am an author on the linked paper)

— Suresh Venkat