부울 수식 균형

부울 수식 균형 문제 의 복잡성에 대한 참조를 찾고 있습니다. 특히,

부울 공식은 에서 균형을 수 있다는 것을 알고 있습니까? $\mathsf{AC^0}$
부울 공식 밸런싱이 있다는 간단한 증거가 있습니까? $\mathsf{AC^0}$

"단순"이란 아래에서 언급 한 것보다 단순한 증거를 의미합니다. 특히 에있는 부울 수식 평가에 의존하지 않는 증거를 찾고 있습니다. $\mathsf{NC^1}$

배경

여기에 언급 된 모든 복잡성 클래스는 균일 한 클래스입니다.

BFB (부울 식 밸런싱) :
부울 식을 감안할 때 , 동등한 균형 부울 공식을 찾을 수 있습니다. $\varphi$

이 문제의 복잡성에 관심이 있습니다. 특히 문제가 (또는 또는 ) 임을 나타내는 간단한 증거 입니다. Spira의 기본 정리와 같은 일반적인 균형 조정 인수는 만 제공하는 것처럼 보이는 수식 트리에 반복적 인 구조 수정을 적용 합니다. $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

나는에 대한 증거가 하지만 증거가 간단하지 않습니다 및 증거에 따라, . $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

BFE는 (부울 식의 평가)
부울 식을 감안할 때 와 진실 할당 의 변수에 대한 , 합니까 충족 ( )? $\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

Sam Buss의 유명한 결과에서 부울 공식 평가 ( )가 에서 계산 될 수 있음 이 알려져 있습니다 ( [Buss87] 및 [BCGR92] 참조 ). $BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

이 것을 (적어도 나에게 아주 놀라 울 정도로) 다음과 균형 부울 식 ( )에도 : $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

아이디어는 우리가 하드 코딩 수 있다는 의 게이트에 입력 에 화학식 당량 수득 이것이 완전히 통사의 동작 계산할 수있다 . 에는 균형 수식이 있으므로 와 동등한 균형 수식을 얻습니다 . 다시 말해 알고리즘은 다음과 같습니다. $\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

자극

(또는 또는 심지어 ) 에있는 에 대한 더 간단한 인수 는 대한 더 간단한 새로운 증거를 제공합니다. 쉽게 볼 때문에 평형 BFE 버전이 해결 될 수 우리는 그것을 구성하는 수 및 결과가 될 것이다 . $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

질문

부울 공식은 ( ) 에서 균형을 수 있다는 것을 알고 있습니까? $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
대해 더 간단한 인수 (예 : 의존하지 않음 )가 있습니까? $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— 카베
소스

"밸런스"의 정의는 무엇입니까?

— Dana Moshkovitz

@Dana, 우리는 과 같은 것을 사용할 수 있습니다 (즉 , 특정 상수를 가진 ). Bonnet and Buss의 논문 " 부울 공식에 대한 크기-깊이 트레이드 오프 ", 2002 년을 참조하십시오.

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— Kaveh

"밸런싱"의 정의가 명확해야한다는 데 동의했다. 이진 트리의 균형 개념과 비슷합니까? 예 : "자체 균형 잡힌 나무"

— vzn

이것이 매우 관련성이 있는지는 확실하지 않지만 k-Trees의 경로 및 일치에 대한 로그 공간 알고리즘 (과거의 오랜 역사를 바탕으로하고 특히 Limaye-Mahajan-Rao의 NC1 및 L 주변 클래스 를 산술 하는 방법)에서 우리는 보여줍니다 Logspace에서 트리에 대한 재귀 균형 구분 기호를 찾는 방법 입력 트리가 문자열 표현으로 직접 제공되는 경우이 경계는 될 수 없습니다. $\mathsf{NC}^1$

기본 아이디어는 트리를 괄호 표현식으로 표시하고 이들에 대한 균형 구분 기호를 찾는 것입니다. 우리는 잎 분리기, 즉 잎의 균형이 균형 잡힌 하위 트리를 찾습니다.

— 사미
소스