고전 수학에 TCS를 적용 하시겠습니까?

TCS에서 우리는 종종 고전 수학 (대수, 토폴로지, 분석, 기하학 등)의 강력한 결과와 아이디어를 사용합니다.

다른 방향으로 갔을 때 어떤 예가 있습니까?

여기 내가 아는 것들이 있습니다 (그리고 내가 요구하는 결과 유형을 맛볼 수 있습니다).

• 입방체 거품 (Guy Kindler, Ryan O'Donnell, Anup Rao 및 Avi Wigderson : 구형 큐브 및 높은 치수의 반올림, FOCS 2008)
• 기하 복잡도 이론 프로그램. (이것은 기술적으로 TCS에 대수 기하학과 표현 이론을 적용한 것이지만, P 대 NP를 추구하면서 새로운 양자 그룹과 새로운 대수 기하학 및 표현 이론 아이디어를 도입하게되었습니다.)
• 근사 알고리즘 및 근사한 결과에서 영감을 얻은 메트릭 임베드 작업

나는 특히 생각 하지 그들은 특히 놀라운 않는 한 논리 TCS의 응용 프로그램 (유한 모델 이론, 증명 이론 등)을 찾고 - TCS과 논리 사이의 관계는이 질문의 목적을 위해 너무 가까이와 표준 및 역사이다.

확장기 는 TCS에서 광범위하게 개발되었으며 수학과 깊이 연관되어 있습니다.

유한 필드 Kakeya 추측에 대한 Dvir의 증거 가 있습니다.

I 알고 귀여운 예 "라는 제목의 논문 마이클 프리드 인 수학 공리 복잡화 클래스 의 의미 부여" 3- 폴드 토폴로지 분야한다.$P^{\sharp P}\neq NP$

불변 원리 는 근사 경도로부터 동기를 얻었지만 유용한 분석 이론입니다. 원리 : 입력이 독립적 인 랜덤 변수 또는 (해당되는) 가우시안 랜덤 변수인지에 관계없이 각 변수에 작은 영향을 미치는 저수준 함수는 거의 동일하게 작동합니다. 이것은 중심 제한 정리의 일반화이다. 함수는 변수의 평균입니다.

영향이 적은 함수의 잡음 안정성 : 불변성과 최적 성 E. Mossel, R. O'Donnell, K. Oleszkiewicz. 수학의 연대기 171 (1), pp. 295-341 (2010). FOCS '05.

낮은 수준의 테스트 이론 은 PCP 응용 프로그램에서 동기를 얻었지만 흥미로운 대수 이론입니다. 원리 : 유한 필드 대한 변량 함수 는 평균 의 선을 통해 평균적 으로 해밍 거리 에서 선의 낮은 다항식 에 가깝고, 해밍 거리에서 낮은 다항식에 가깝습니다. 전체 .F F n F $n$$F$$F^n$$F^n$

특정 공간에서 해밍 거리가 낮은 다항식에 가까워짐에 따라 함수는 공간의 무시할 수없는 부분에서 낮은 다항식으로 식별됩니다.

저수준 테스트 및 응용 프로그램 개선 . 아 로라와 수단 ACM STOC 1997에서.

NP , R.Raz, S.Safra, 29 번째 STOC 진행, 1997, pp. 475-484 의 하위 상수 오류 확률 저도 테스트 및 하위 상수 오류 확률 PCP 특성 분석

나는 편견이 있지만 TCS의 다양한 아이디어가 Gowers 규범에 대한 역 추정을 진전시키는 데 기여했다고 말하는 것이 공정하다고 생각합니다. 예를 들어 Green and Tao 의 논문을 참조하십시오 .

계산 성 이론은 TCS의 일부입니까? 그렇다면 Csima로 얻은 결과의 적용을 설명하는 Bob Soare의 계산 이론 및 차등 형상이 그 예입니다.

링크가 표시되지 않는 이유를 모르겠습니다 .... 여기 : http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

추출기는 또 다른 곳입니다. 예를 들어, Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04의 논문은 Ramsey 그래프의 개선 된 구성 (이산 수학에서 한동안 열려 있었던 문제)을 제공합니다.

De Wolf와 Drucker 는 양자 쿼리 복잡성과 다항식에 의한 대칭 함수의 근사치 인 간의 놀라운 연결에 대한 양자 증거 에 대한 설문 조사에서 언급했습니다 .$\epsilon$

지그재그 확장 공사가 예상치 못한 특정 특성을 가진 그룹의 다양한 흥미로운 예를 구성에 사용 된 참조 Meshulam - Wigderson , Rozenman-Shalev-Wigderson을 . 구조 자체는 완전히 다른 도구 (엔트로피를 다루는 CS 관점에 의해 동기 부여됨)를 사용하여 이전 구조보다 확장기를 구축하기 때문에 순수 수학 관점에서 매우 흥미 롭습니다. (그러나 가장 유명한 응용 프로그램은 무 방향 연결을위한 TCS- Reingold의 로그 공간 알고리즘 안에 있습니다 .)

몇 가지 응용 프로그램을 더 언급하겠습니다.

아마도 순수 수학에 대한 TCS의 가장 중요한 기여는 축소 기술입니다. 계산 복잡성 및 기타 장소에서 TCS가 사용하는 형식의 감소는 다른 수학 영역에 비해 TCS에서 더 발전된 수학적 패러다임 / 도구를 나타냅니다.

확률 론적 증거의 개념 : 여기서 나는 확률 론적 방법 (수학에 뿌리를두고 있지만 CS에 많은 응용을 가짐)을 언급하는 것이 아니라 특정 숫자를 주장하는 진술과 같은 수학적 진술이 소수라는 사실을 언급한다. "합리적인 의심을 넘어서"라는 증거가 제공됩니다. CS에서 시작된 개념적 혁신이지만 수학을 수행하는 방식에 아직 많은 응용 프로그램이 없었습니다.

Lovasz Local Lemma에 대한 Moser의 건설적인 증거는 컴퓨터 과학 아이디어를 사용하고 Lovasz Local lemma에 대한 새로운 증거를 제공하며 사람들이 꽤 오랫동안 생각해 온 문제를 해결합니다.

Batson-Spielman - 스리 바스타 장벽 기능의 방법은 기하학 응용 프로그램 및 기능 분석의 숫자를했다, 컴퓨터 과학에서 일어나 비관적 추정량의 방법을 연상시키는 잠재적 인 함수 인수의 매우 원래의 형태이다. 더욱이, 랜덤 매트릭스의 특성 다항식을 분석하는 것은 다루기 어려우며, 대신에 매트릭스 모멘트를 보는 것이 더 낫다는 기존의 지혜에 위배됩니다.

장벽 함수 방법은 스펙트럼 특성을 유지하는 그래프의 스파 저기 (및 결정 론적 다항식 시간으로 구성)의 존재를 증명하기 위해 처음 개발되었습니다. 이러한 스파 저는 알고리즘 응용 프로그램에 의해 동기가 부여됩니다. 기본적으로 컷을 계산해야하는 모든 알고리즘은 원래 입력의 스파 스화 된 버전을 입력으로 제공하여 속도를 높일 수 있습니다.

그러나 sparsifiers 넘어, 방법에 아사 프 나 오르 의해 조사 된 많은있는 수많은 애플리케이션했다 이 논문을 . 몇 가지 두드러진 예는 가중 확장 그래프의 구성, 적은 점으로 동일성에 대한 John 분해의 근사, 의 하위 집합 / 하위 공간의 차원 축소 , Bourgain의 엄격한 버전 및 Tzafriri의 제한된 가역성 원리입니다. 위의 모든 애플리케이션에서 배리어 기능 방법은 본질적으로 단단한 경계를 생성하고 존재 증명 외에 효율적인 결정 론적 알고리즘을 제공하며 종종 이전 방법보다 더 기본적인 증거를 제공합니다 (많은 털이 계산되지는 않음).$\ell_1^n$

마커스, 스리 바스타 바, 스필만 은 2013 년으로 넘어 가고 스테로이드에 대한 장벽 기능 방법과 인터레이스 다항식의 기계로 보강 된 기능을 사용하여 기능 분석에서 가장 악명 높은 문제 중 하나 인 Kadison-Singer 문제를 해결했습니다. . 이 문제는 수학 물리학의 근본적인 질문 에서 발생 하지만 훨씬 더 진행 됩니다. 수학 전체에서 수십 가지 문제에 해당 하는 것으로 알려져 있습니다 . 카디 슨과 싱어를 포함한 많은 분석가들은이 문제가 긍정적 인 해결책이라고 생각조차하지 않았다는 것은 말할 것도 없다 (카 사자 (Cassaza) 등의 인용 된 조사는 가능한 반대 사례를 추측하고있다).

마음에 떠오르는 한 가지 예는 Higman의 임베딩 정리이며 그룹 이론적 결과입니다.

Higman 's Embedding Theorem : 그룹 G는 재귀 적 프리젠 테이션으로 유한하게 생성됩니다. G는 유한하게 제시된 그룹의 하위 그룹입니다.

(등가의 왼쪽 부분에는 계산 요소가 있고 오른쪽은 순전히 그룹 이론입니다.)

무작위성 의 의미 , "무작위 순서"및 관련 질문은 수 세기 동안 수학, 확률 이론 및 통계에서 중요했습니다. 이론적 컴퓨터 과학 (및 복잡성 이론)은 무작위성에 대한 이해를 위해 매우 강력하고 깊이있는 통찰력을 제공합니다.

확률 론적 방법은 수학의 난 수화 에서 시작되었지만 중요한 수학적 개념 인 CS에서 주로 개발되었습니다.

이것은 Moritz 의 답변 과 관련이 있습니다.

오토마타 이론과 대수

오토마타 이론은 대 수성을 특징 짓는 흥미로운 결과를 주었다. 나는 그들 중 두 가지를 언급했다. 결코 철저하지 않습니다.

1. 의 대수적 폐쇄$\mathbb F_q(t)$

하자 가진 유한 필드 위에 유리 함수 필드 수 요소, 여기서 일부 프라임 정수 . 를 대한 공식적인 힘의 고리라고 하자 .$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

에 대해 대수적인$\mathbb F_q(t)$ 거듭 제곱 , 즉 -theoretic description을 사용하여 계수를 갖는 음의 다항식의 근본입니다 .$\mathbb F_q(t)$

정리 (Christol [1]). 공식 파워 시리즈 는 시퀀스 인 경우에만 대해 대수적 입니다. 자동.$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

실제로,이 방법은 의 대수적 폐쇄에 대한 설명을 제공합니다 . 이 분야 것이 알려져 일반화 멱급수 형식의 의 잘 정렬 된 부분 집합 의 대수 폐쇄 포함 . 다시, 대수적인 일반화 된 전력 계열은 자동 마법 이론적 설명을 사용하여 특성화 될 수있다.$\mathbb F_q(t)$

정리 (Kedlaya [2]). 시퀀스 이 -quasi-automatic 인 경우에만 일반화 된 전력 계열 는 대해 대수적 입니다.$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2. 초월수

초월 숫자를 특성화하기 위해 자동 시퀀스도 사용됩니다. 예를 들어

정리 (Adamczewski & Bugeaud [3]). 정수 하자 . 하자 하고하자 그것의베이스 - 숫자의 시퀀스 수 표현.≥ 2 x ∈ R x = { x i } ∞ i = 0$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. 경우 궁극적으로 주기적 다음, 합리적;$\mathbf x$$x$
2. 경우 인 자동적 인 (그러나, 궁극적 주기적되지 않음), 다음 초월이고; b $\mathbf x$$b$$x$
3. 그렇지 않으면, 는 대수적 비이성적 인 숫자입니다.$x$

물론 첫 번째 항목은 매우 고전적인 결과입니다!

참고 문헌.

[1] 질 크리스톨. Presque périodiques k-reconnaissables를 앙상블합니다 . 에 이론 컴퓨터 과학 (9) (1), PP 141-145, 1979.

[2] Kiran S. Kedlaya. 함수 필드의 유한 한 오토마타 및 대수 확장 . 에서 저널 드 théorie 데 nombres 드 보르도 18 : 권, 379-420, 2006 년 arXiv 수학 / 0410375 .

[3] Yann Bugeaud의 Boris Adamcweski. 대수의 복잡성 I. 정수 기반의 확장 . 에서는 수학 연보 165 (2), 547-565 쪽, 2007.

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

IMHO TCS는 수학의 한 분야이며 조금 더 넓게 설명하겠습니다. 우리는 거의 모든 사람이 모든 인간 활동에서 알고리즘의 시대에 살고 있으며 알고리즘, 주로 휴리스틱을 발명 / 재발 명합니다. 그러나 이러한 알고리즘 중 일부는 1입니다. 2. 심층적 인 수학 문제에 대한 답변을 포함해야합니다. 3. 전문적인 수학적 분석 / 개선 /주의를 기다립니다. 내 개인적인 경험 : 증명 기법으로서 하나의 물리 / 기계 학습 휴리스틱, 즉 Bethe 근사법의 놀라운 힘. 주요 문제는 이러한 종류의 발생이 주로 업계에서 발생한다는 것인데, 비 제품 관련 통찰 / 계시에 대해서는 아무도 신경 쓰지 않습니다.