MALL + 무제한 재귀 유형이 Turing-complete입니까?


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Y 콤비 또는 오메가 콤비 와 같이 유형이 지정되지 않은 람다 미적분의 재귀 콤비 네이터를 보면 : 이 모든 결합기는 정의에서 어딘가에 변수를 복제하게됩니다.

ω=(λ엑스.엑스엑스)(λ엑스.엑스엑스)와이=λ에프.(λ엑스.에프(엑스엑스))(λ엑스.에프(엑스엑스))

또한 재귀 유형 확장하면 이러한 모든 결합자는 단순 유형 람다 미적분으로 입력 할 수 있습니다 여기서 는 재귀 유형에서 부정적으로 발생할 수 있습니다.μα.(α)α

그러나 지수가없는 선형 논리 조각 (예 : MALL)에 완전 (음수 발생) 재귀 유형을 추가하면 어떻게됩니까?

그렇다면 당신은 수축을 줄 지수 가 없습니다 . 와 같은 것을 사용하여 지수 유형 을 인코딩 할 수 있습니다 그러나 도입 규칙을 정의하는 방법을 보지 못합니다. 왜냐하면 정의하기 위해 고정 소수점 조합기가 필요하기 때문입니다. 그리고 나는 지수를 정의하고, 수축시키고, 고정 소수점 결합기를 얻으려고했습니다!!

!μα.나는&&(αα)

MALL과 무제한 재귀 유형이 여전히 정상화되는 경우입니까?


나는 며칠 전에 이것에 대해 생각하고 있었고 몇 시간 동안 아이디어를 가지고 놀았지만 재귀 적 가치를 표현하는 방법을 찾지 못하거나 불가능하다는 것을 확신하지 못했습니다. 내 직감은 그렇지 않다는 것입니다! 나는 다른 방향을 고려하지 않았다. 재귀 유형을 사용하면 고정 소수점 조합기를 정의 할 수 있습니까?
CA McCann

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나는 항상 모든 변수가 최대 한 번 발생 하는 -term은 단순히 유형이 지정된 조각으로 입력 할 수 있다고 생각했습니다 . 따라서 변수가 선형으로 사용되는 수정 점 결합기를 정의 할 수 없음을 알 수 있습니다. λ
Andrej Bauer

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방금 MLL에 대한 질문에 대답했다고 생각하지만 첨가제 변수를 복제 할 수 있습니다 (선형은 축소 시퀀스에서 단일 발생을 대략적으로 나타냅니다). & B
Neel Krishnaswami

답변:


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MALL에서 가산 정류를 생략하면 컷 제거 단계마다 교정 크기가 줄어드는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 가산 정류가 허용되는 경우 증명이 쉽지는 않지만 원래 "Linear Logic"용지에 제공되었습니다. 이것을 소규모 정규 정리 (Corollary 4.22, p71)라고합니다. 이것은 수축-촉진 규칙이 관여하지 않는 한 (MALL의 경우) 정규화가 보유하고 있다고 말합니다. 인수는 공식 자체에 의존하지 않고 무한 할 수 있습니다 (예 : 재귀 적으로 정의).

이는 유형에 대한 특별 판매를 인코딩 할 수 없음을 의미합니다MALL에서 는 고정 점 결합기를 허용하므로 MALL입니다. 이를 위해서는 몇 가지 추가 재귀 구문이 필요합니다.μα.나는&&(αα)

참고 : 나는 시스템을 정상화하고 의이 인코딩에 대한 프로모션을 얻기 위해 MALL을 공동화 원칙 ( 's dual의 소개)과 함께 사용할 수 있다고 생각합니다 . MALL + coinduction 에서 재귀 유형을 허용하면 Turing이 완료됩니다. 그러나 MALL이 단독으로 고려되는 한 재귀 유형을 허용하는 것은 큰 문제가 아닙니다.μ!


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또한 용지의 101 페이지 (마지막 페이지)에 제안 된 유형이 간략하게 언급되어 있습니다.
Stéphane Gimenez
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