모든 정점 일치에 대한 최소 스패닝 트리

다항식 시간 알고리즘을 작성할 수없는이 일치하는 문제가 발생했습니다.

하자 정점 세트 완전한 그래프 가중 될 및 각각 여기서 . 또한 와 가 각각 와 의 모서리에있는 가중치 함수 라고합시다 .$P, Q$$P_V$$Q_V$$|P_V| = |Q_V|=n$$w_P$$w_Q$$P$$Q$

bijection 경우 다음과 같은 방식으로 를 수정 합니다. 및 with 그런 다음 . 이 변형에 의한 그래프를 나타내고 하고하자 의 최소 스패닝 트리의 가중치의 합이 될 .$f: P_V \to Q_V$$Q$$f(p) = q$$f(p^\prime) = q^\prime$$w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$$w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$$Q_f$$W(Q_f)$$Q_f$

문제 : 모든 bijections 를 최소화 .$W(Q_f)$$f: P_V \to Q_V$

이 문제는 얼마나 어렵습니까? "하드"인 경우 근사 알고리즘은 어떻습니까?

P와 Q가 삼각형 부등식을 만족한다고 가정하면 상수 팩터 근사를 얻는 아이디어는 다음과 같습니다. 나는 그것이 2 근사치를 줄 수 있다고 생각했지만, 지금 내가 증명할 수있는 것은 근사치 4입니다.

(1) 명시된 문제에서 모서리의 무게 $pq$ 결합 된 그래프에서 (대응 후 $p$–$p'$ 과 $q$–$q'$ 결정된다) $\max\{P(pq),Q(p'q')\}$. 대신 . 이것은 최대 2 배를 잃지 만 문제를 쉽게 설명 할 수있게합니다 : 우리는 이제 에서 스패닝 트리를 찾고 에서 최소 총 중량으로 동형 스패닝 트리 를 찾으려고합니다 . 와 사이의 대응은 이 두 나무 사이의 동형에 의해 주어진다.$P(pq)+Q(p'q')$$P$$Q$$P$$Q$

(2) 에서 최소 스패닝 트리를 찾은 다음 경로를 두 배로 늘리는 오일러 투어 기술을 사용하여 최대 두 배의 무게를 가진 경로를 찾으십시오. 에서 독립적으로 동일한 작업을 수행하십시오 . 결과는 그래프의 MST 무게의 최대 두 배에 달하는 두 개의 동형 트리 (두 경로)이며, 따라서 최소 동형 스패닝 트리 문제에 대한 솔루션 비용의 최대 두 배, 원래 문제의 무게의 네 배 .$P$$Q$

(3) 원래 문제는 해밀턴 경로에서 줄임으로써 NP- 완료입니다. 하자 당신이 해밀턴 경로의 존재를 테스트하고자하는 그래프에서 정의 할 수; 가 의 모서리 인 경우 정의 하고 가 모서리가 아닌 경우 합니다. 하자 경로 그래프에서 동일하게 정의 될 수있다. 가 정의 된 그래프 에 해밀턴 경로가있는 경우에만 총 비용 가 있습니다. 아마도 이것은 일정한 고정 상수 이하의 근사 성을 입증하기 위해 사용될 수도 있습니다.$P$$P(pq)=1$$pq$$P$$2$$pq$$Q$$n-1$$P$