시간 구성성에 대한 동등한 정의

우리 는 길이 의 모든 입력 에서 최대 단계를 만드는 결정 론적 멀티 테이프 튜링 기계 이 있고 각 에 대해 약간의 입력 이있는 함수 은 시간 구성 가능 하다고 말합니다. 길이 은 이 정확히 단계를 만든다. $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$ $n$ $n$ $M$ $f(n)$

길이 의 모든 입력에서 정확하게 단계를 만드는 결정적 멀티 테이프 튜링 머신 이 존재하는 경우 함수 은 시간을 완벽하게 구성 할 수 있다고합니다 . $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$

Q1 : 시간 구성이 가능하고 시간 구성이 불가능한 기능이 있습니까?

만약 라면 대답은 그렇다 ( 이 답변을 보라 ) . "예"조건을 로 강화할 수 있습니까? "예"가 증명 될 수 있습니까? $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$ $P\neq NP$

Q2 : 정의에 2- 테이프 튜링 기계 만 허용하면 (완전히) 시간이 결정 가능한 기능 클래스가 변경됩니까?

Q3 : 모든 훌륭한 기능이 완전히 시공 가능한 것으로 믿는 "유효한"이유는 무엇입니까?

용지
고지로 고바야시 : 함수의 시간 Constructibility 증명에. 이론. 계산. 공상 과학 35 : 215-225 (1985)는
Q3에 부분적으로 응답합니다. 이에 대한 부분 요약 및 업그레이드는 이 답변에 있습니다. 답변으로 Q3를받습니다.

역사적으로 실시간으로 계산 가능한 함수라는 개념은 (완전히) 시간을 구성하는 대신 사용되었습니다. 자세한 내용은 이 질문 을 참조하십시오 .

cc.complexity-theory time-complexity terminology

— 데이비드 G
소스

궁금합니다. 이러한 정의에 대한 참조를 말씀해 주시겠습니까? (그들이에 해당하든 그것은 또한 나에게 분명 아니다 나는 작도 기능에 익숙하지 않은 나는, 나는 온라인으로 정의를 찾을 수 없습니다 예 위키 피 디아 것들).

— usul

@usul 참조 : JE Hopcroft, JD Ullman. 오토마타 이론, 언어 및 계산 소개. 1979 년 컴퓨터 과학의 Addison-Wesley 시리즈 동일한 정의를 여기에서 찾을 수 있습니다 : cse.ohio-state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk-fivese2.html

— David G

지난 며칠 동안 나는 (완전히) 시간 구성 가능한 기능에 대해 많이 생각했으며 Q1과 Q3에 답하여 찾은 것을 발표 할 것입니다. Q2는 너무 어려워 보인다.

Q3 :

그의 문서 고바야시 (기준 질문에) 함수 입증 , 존재하는 번째 , 그것이 IFF에 충분히 시간 작도 인 시간으로 계산할 수 있습니다. (이 두 표현 사이를 선형 시간으로 변환 할 수 있기 때문에 입력 또는 출력이 단항 / 이진인지 여부는 관련이 없습니다.) 이렇게하면 다음과 같은 기능을 완전히 구성 할 수 있습니다. , $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $\epsilon>0$ $f(n)\geq (1+\epsilon)n$ $O(f(n))$ $2^n$ ,, , 모든 다항식 이상 번째 ... 고바야시는보다 느린 성장 일부 기능에 대한 완벽 시간 constructibility 증명 , 같은 대한 ... $2^{2^n}$ $n!$ $n\lfloor \log n \rfloor$ $p$ $\mathbb{N}$ $p(n)\geq (1+\epsilon)n$ $(1+\epsilon)n$ $n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$ $q\in\mathbb{Q}^+$

충분히 시간을 작도 기능의 예를 계속하려면 한 경우 증명할 수 과 다음, 완전히 시간 작도 있습니다 , , 및 입니다 또한 완벽하게 시간 구성 가능합니다 (나중에 Kobayashi의 정리 3.1에서 직접 따릅니다). 이것은 많은 훌륭한 기능이 실제로 완전히 구성 가능한 것임을 확신합니다. $f_1$ $f_2$ $f_1+f_2$ $f_1f_2$ $f_1^{f_2}$ $f_1\circ f_2$

고바야시는 (좋은) 함수 (그리고 나도 마찬가지 )의 완전한 시간 구성 성을 입증하는 방법을 보지 못했다는 것은 놀라운 일이다 . $\lfloor n\log n\rfloor$

우리는 또한의 정의에 대해 언급하자 위키 백과 문서를 : 함수 튜링 기계가 존재하는 경우, 시간 작도 인 문자열 부여하는, , 출력 에서 시간. $f$ $M$ $1^n$ $f(n)$ $O(f(n))$ 이 정의는 함수 대한 완전한 시간 구성 가능성에 대한 정의와 동등하다는 것을 알 수 있습니다. $f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1 :

이 질문에는 정말 흥미로운 답변이 있습니다. 모든 시간 구성 가능한 기능이 완전히 시간 구성 가능한 경우 입니다. 이를 증명하기 위해 임의의 문제 , 보자 . 그러면 , st $EXP-TIME=NEXP-TIME$ $L\in NEXP-TIME$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ NDTM 의해 해결 될 수 의 단계. 각 단계에서 은 단순화를 위해 최대 두 개의 다른 상태로 진행 한다고 가정 할 수 있습니다 . 이제 함수 $M$ $2^{n^k-1}$ $M$

f (n) = {\begin{cases} 8 n + 2 & if (first ⌊ \sqrt[k]{⌊ \log n ⌋ + 1} ⌋ bits of b i n (n)) \in L \\ 8 n + 1 & else \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

$f$ $T$

$w$ $n$ $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $O(n)$
$M$ $w$
$\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

$w$ $=n$ $M$ $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $n$

$T$ $8n+1$ $f$

$w$ $n$ $T$ $8n$
$T$

$f$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

$L$

$x$ $n$ $x00\ldots 0$ $|x|^{k-1}$ $x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
$f(n)$ $f(n)$

$L$ $L\in NEXP-TIME$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

— 데이비드 G
소스

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— Emil Jeřábek 3.0

질문 Q1에 대한 답변에서 제시된 것과 매우 유사한 아이디어가 여기 에서도 사용 됩니다 .

— David G