이론적 컴퓨터 과학의 복잡한 분석

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이론적 컴퓨터 과학에는 속성 테스트, 커뮤니케이션 복잡성, PAC 학습 및 기타 여러 연구 분야를 다루는 실제 분석 응용 프로그램이 많이 있습니다. 그러나 복잡한 분석에 의존하는 TCS의 결과는 생각할 수 없습니다 (복소수가 모델에서 본질적인 양자 컴퓨팅 외부). 복잡한 분석을 사용하는 고전적인 TCS 결과의 예가 있습니까?

soft-question big-picture

1

좋은 질문입니다! 나는 유한 계산 시스템에 관한 경향이있는 양자 컴퓨팅보다는 숫자 이론과 관련된 결과 (예 : 리만 (Riemann) 가설의 사용)를 배제하는 것이 더 낫다고 제안한다 (내가 아는 한).

— Colin McQuillan

11

우리는 극대화의 문제에 대한 대략적인 알고리즘을 제공합니다 (A TCS의 관점에서) 종이는 "그로 텐 디크 상수는 크리 빈의 바운드보다 확실히 작다,"복잡한 분석을 사용 대상을 입니다. 참조 ttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$

— Yury

3

@Yury 그 답이 될 수 있습니다.

— Suresh Venkat

14

영구 다항식 시간 알고리즘을 근사하여 지수 및 지수 내에서 영구 및 혼합 판별 을 근사화하는 Barvinok의 복합 기반 알고리즘 .

또한 양자 연산에서 복잡한 연산자 (및 일부 복잡한 분석)가 중요합니다.

이 책을 추천하겠습니다 : Eitan Bachmat의 성과 분석 주제 는 많은 관련 문제와 다른 많은 것들을 제공합니다.

— 길 칼라이
소스

좋은 결과입니다.이 결과를 몰랐습니다. 감사합니다!

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단일 문제는 아니지만 분석 조합론 의 모든 분야 ( Flajolet and Sedgewick 의 책 참조 )는 적절한 생성 함수를 기록 하고 구조 를 분석하여 계수 구조 (또는 알고리즘 실행 시간) 의 조합 복잡성 을 분석하는 방법을 탐구합니다. 복잡한 솔루션.

— 수레 쉬 벤 카트
소스

Suresh, '복잡성 분석'이란 무엇을 의미합니까?

— Andy Drucker

2

아 내가 잘못 썼어. 나는 "구조의 조합 복잡성 분석"을 의미했다-고칠 것이다.

— Suresh Venkat

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존 켈너 (Jon Kelner)는 2004 년 논문 "스펙트럼 분할, 고유 값 경계 및 경계 속 그래프에 대한 원 패킹"으로 STOC 최우수 학생 논문상을 수상했습니다.

초록에서 인용하겠습니다.

우리의 주요 기술 정리로서, 우리는 그러한 그래프 중 라플라시안의 두 번째로 작은 고유 값에 바운드 된 O (g / n)을 증명하고 이것이 타이트하다는 것을 보여 주어 Spielman과 Teng의 추측을 해결합니다. 이 정리는 본질적으로 조합 적이지만, 그 증거는 원형 패킹 이론과 컴팩트 한 리만 표면의 기하학적 구조를 바탕으로 연속 수학에서 비롯됩니다.

"전통적인"그래프 분리기 문제를 공격하기 위해 복잡한 분석 (및 기타 "연속"수학)을 사용하는 것은 기억에 남을만한 일이었으며이 논문이 연구와 완전히 관련이 없더라도이 논문이 내 머릿속에 붙어있는 주된 이유입니다.

— Mugizi Rwebangira
소스

8

증거에 직접 사용되는 복잡한 분석에 더 관심이있을 것 같습니다. 그러나 현재 제가 참석하고있는 대학원 수준의 알고리즘 수업의 두 가지 예가 있습니다.

a) 예를 들어 다항식 곱셈에 사용되는 고속 푸리에 변환. 구현은 모듈로 산술 또는 부동 소수점 (및 일부 산술 분석)으로 수행 될 수 있지만, 그 증거는 복소수와 그 근음의 관점에서 가장 잘 이해됩니다. 나는 그 주제에 대해 깊이 탐구하지는 않았지만 FFT에는 다양한 응용 프로그램이 있다는 것을 알고 있습니다.

b) 일반적으로, RAM 모델에 일정한 시간에 복소수를 처리 할 수있는 기능 (실제와 허수 부분은 여전히 정밀한 정밀도를 가짐)을 갖추면 문제를 영리하게 인코딩하고 복소수의 속성을 이용하여 솔루션을 나타낼 수 있습니다 (참조 왜 이것이 더 빠를 수 없는지에 대한 의견).

— 차지 s
소스

두 번째 관찰의 예가 있습니까? 상수 시간 작업으로 "복잡한 O (log n) 비트 정수"클래스를 표준 RAM에 추가하는 것은 쉽지 않습니다. 또는 "빠르게", "2만큼 빠름"을 의미합니까?

— Jeffε

"강의, 곱하기, 나누기, 덧셈 및 뺄셈 당 단위 비용으로 복소수를 계산할 수있는 확장 된 RAM을 다루고 있다고 가정합니다. 또한, 절대 값 | c | 단위 시간의 복소수 c. 또한 복소수 상수 0, 1 및 i를 "인식"합니다. 확장 된 RAM에 양의 정수 n이 주어지면 숫자 n!은

로 계산 될 수 있습니다.

시간. 이 솔루션은 표준 RAM 모델보다 빠르다는 다항식 곱셈을 사용합니다.

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— chazisop

6

제안 된 알고리즘은 상수 시간 무한 정밀도 실제 산술이 필요합니다. ( 출력을 기록 할 시간조차 없기 때문에

비트 단어가 있는 기계를 사용하여

시간에

비트 정수를 계산할 수 없습니다 ! 문제는 복잡한 숫자 자체가 아니라 실제 RAM 모델에 제곱근 을 추가하도록 요청하는 것 입니다.

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Jeffε

의견 주셔서 감사합니다, 그것은 매우 깨달았습니다. 복잡한 숫자로 문제를 영리하게 인코딩하는 것, 즉 다른 방법으로 놓칠 수있는 해결책을 찾기 위해 답을 업데이트해야한다고 생각합니다.

— chazisop

6

아마도이 응용 프로그램은 TCS와 디스크 수학 사이에 다소 차이가 있지만 Petr Savicky (http://www2.cs.cas.cz/~savicky/ 논문 /symmetric.ps). 정리는 부울 함수에만 관련되지만 증명 중 하나는 복소수를 사용합니다.

— 매그너스 찾기
소스

5

우리는 복잡한 분석의 Cauchy 's Residue Theorem을 논문 " 근사 선형 임계 값 조건 자 " 의 주요 기술 도구로 사용합니다 .

— MCH
소스

5

Koebe-Andreev-Thurston Circle Packing 정리는 Riemann-mapping 정리에서 시작되었으며 다양한 알고리즘 측면을 가지고 있습니다. 예를 들어, 그것은 평면 그래프에 대한 Lipton-Tarjan seoror 정리의 증거를 제시합니다.

— 길 칼라이
소스

5

오븐에서 신선한 :

손실 인구 복구 를 위한 다항식 시간 알고리즘 작성자 : Ankur Moitra, Michael Saks

논문에서 인용 : "여기서 우리는 복잡한 분석 도구를 사용하여 이전 섹션에서 언급 한 불확실성 원리를 증명할 것입니다. 복잡한 평면에서 동형 함수의 성장 속도를 이해하는 데 가장 유용한 이론 중 하나는하다 마드의 삼원 정리입니다. .. "

— 길 칼라이
소스

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$

(계속) 아름다운 관찰은 여기서 은 반지름 1의 복잡한 평면에있는 단위 디스크입니다. 휴식, 문제는 극대화로 귀결 에 따라 에 의해 제한되는 안에 작은 디스크를 통해 . 좌표 변환을 통해 우리는 Three Circle 정리의 설정에서 자신을 발견합니다. 홀로 모픽 함수는 두 개의 동심원의 포인트에 묶여 있으며, 중간 반경의 원에 함수를 묶습니다.

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

— arnab 2013

(계속) 문제의 경우, 가 작은 디스크에서 로 묶인 경우 내부 . (논문을 설명하는 Mike Saks의 멋진 이야기에 감사합니다.)

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

— arnab

5

이 백서의 A.4 절에서는 복잡한 분석을 사용하여 최적의 공간 보장을 제공하는 데이터 스트림 ( ) 에서 추정을 위한 알고리즘의 무작위 화를 유도 합니다. $\ell_p$ $0 < p < 2$

Daniel M. Kane, Jelani Nelson, David P. Woodruff. 스케치 및 스트리밍 작은 규범의 정확한 공간 복잡성. 소다 2010.

복잡한 분석을 명시 적으로 언급하지 않는 증명 (내 웹 페이지의 해당 문서에 대한 "노트"섹션의 첫 번째 글 머리표 참조)을 작성해도 문제를 해결할 수 있지만, 그 증거조차도 복잡한 분석이 표지 아래에 숨어 있습니다.

— 젤 라니 넬슨
소스

4

Naor, Regev 및 Vidick의 최근 논문에서 복소수와 분석법을 사용하여 NP-hard 최적화 문제에 대한 근사 알고리즘을 제공합니다. http://arxiv.org/abs/1210.7656

— 클레멘트 C.
소스

또 하나의 무작위 뿌리를 사용하는 또 다른 논문은 Daniel M. Kane, Kurt Mehlhorn, Thomas Sauerwald 및 He Sun입니다. 데이터 스트림의 임의 하위 그래프 계산. ICALP 2012.

— Jelani Nelson

3

최근 Vishnoi는 최대 길이의 TSP 투어를 찾는 알고리즘을 제공했습니다. $n + O(n/\sqrt{k})$ $k$ $n \times n$ $n!/n^n$ MAA 월간에 Laurent와 Schrijver에 의해). 복잡한 비행기의 실제 라인을 떠나는 것은 Gurvits의 증거에 필수적이며 문제를 크게 단순화합니다.

— 사쇼 니콜 로프
소스

0

$z \leftarrow z^2 + c$

[1] 계산, 기하학 및 역학 시스템의 접근성 및 결정 불가능 성 Kaneko Kunihiko Asaki Saito

[2] 실수에 대한 계산과 복잡성 이론 Lenore Blum, 1990

— vzn
소스

0

$\mathbb{C}$

— 리빈 캐빈
소스