circulant Paley 그래프에서 홀수 구멍 찾기

페일리는 그래프 P의 _Q는 그 정점을 설정 주어진다들이다 유한 필드 프라임 힘 q≡1 MOD (4)에 대한 GF (Q), 2 개의 정점에 인접한 곳에 있다면하고는 다를 경우에만 ² 일부 ∈ GF (q). q가 소수 인 경우, 유한 필드 GF (q)는 정수 모듈로 q의 세트 일 뿐이다.

A의 최근 논문 , 및 Penman에 Maistrelli는 유일한 페일리 그래프 보여 완벽한 구 개 정점의 하나는 (a 색채를 갖는 클리크는 최대 크기와 동일). 이것은 특히 Paley 그래프 P _q 중 어느 것도 q 소수에 완벽한 것은 아니라는 것을 의미합니다 .

강한 완벽 그래프 정리 한 그래프 G 완벽 주장 IF 및 G와 보수 모두 부족한 경우에만 홀수 구멍 (홀수 길이의 사이클 유도 서브 그래프 및 크기 적어도 5) 프라임 주문 페일리 그래프 들이며 자기 보완적이고 불완전한; 그러므로 홀수 홀을 포함해야합니다.

질문. q≡1 (mod 4) 소수의 경우 P _q 에서 홀수 홀을 찾기위한 poly (q) 알고리즘이 있습니까? polylog (q) 알고리즘이 있습니까? 임의성과 인기있는 수 이론 이론이 허용됩니다.

알려진 poly (q) 알고리즘이 있다고 생각합니다. Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour 및 Vušković의 알고리즘에 대한 나의 이해는 Combinatorica 2005 에서 " 다항식 시간에 비 완벽한 그래프에서 홀수 홀 또는 홀수 안티 홀을 발견한다는 것입니다. 저자는 논문의 2 페이지에 알고리즘의 1 단계와 3 단계에서 구멍을 찾지 만 2 단계에서 안티 홀을 찾을 수 있기 때문에 홀수 구멍이있는 그래프에서 문제가 열린 채로 남아 있다고 말합니다. 그러나 Paley 그래프의 경우 앤티 홀을 발견하면 그 안에있는 모든 정점에 비 잔여를 곱하여 홀수 홀로 바꿉니다.

대안으로, Rado 그래프와 유사하게, 각 k에 대해 N 개 이상의 N에있는 Paley 그래프가 확장 특성을 가져야하는 N이 있어야합니다. 한 색상 클래스의 모든 정점에 인접하고 다른 색상 클래스의 모든 정점에 인접하지 않은 다른 정점이 존재합니다. 그렇다면 k = 5의 경우 단계 당 다항식 시간으로 홀수 5 홀을 탐욕스럽게 만들 수 있습니다. 아마도이 방향이 poly (log (q)) 알고리즘에 희망적입니까? 그것이 작동한다면 적어도 홀수 홀이 있다는 것을 보여줄 것입니다.

실제로 다음이 poly (log (q)) 알고리즘이라면 놀라지 않을 것입니다 : q가 고정 상수보다 작 으면 답을 찾으십시오. 그렇지 않으면 숫자를 통해 순차적으로 검색하여 탐욕스럽게 홀수 5 홀을 만듭니다. 부분 5 홀의 일부로 추가 할 수있는 꼭짓점의 경우 0, 1, 2, 3, ... 그러나 poly (log (q)) 시간에 작동한다는 것을 증명하는 것은 약간의 수 이론이 필요할 것입니다.

Chung, Graham 및 Wilson의 "Quasi-random graphs", Combinatorica 1989의 결과에 따르면, 다음의 무작위 알고리즘은 q가 소수 일 때 일정한 예상 횟수의 시도에서 문제를 해결합니다. q가 충분히 작 으면 답을 찾으십시오. 그렇지 않으면 반복적으로 임의의 5 개의 정점 세트를 선택하고 홀수 홀을 형성하는지 확인한 다음 반환합니다. 그러나 그들은 q가 소수가 아니라 주요한 힘일 때 작동하는지 여부를 말하지 않으므로 아마도이 경우 더 조심해야 할 것입니다.