스파 스 월시하다 마드 변환

왈시 -하다 마드 (WHT)는 변환 , 푸리에 변환의 일반화이며, 치수의 실수 또는 복소수 벡터에 직교 변환 인 . 이 변환은 양자 컴퓨팅에서 인기가 있지만 최근 Johnson-Lindenstrauss Lemma의 증명에 사용하기 위해 고차원 벡터를 무작위로 투영하기위한 일종의 전제 조건으로 연구되었습니다. 주요 특징은 정사각형 행렬이지만 FFT와 같은 방법 으로 시간 ( 대신 의 벡터에 적용 할 수 있다는 것 입니다. $d = 2^m$ $d\times d$ $O(d \log d)$ $d^2$

입력 벡터가 희소 하다고 가정합니다. 입력 벡터에 0이 아닌 항목이 몇 개만 있습니다 (예 : ). 시간에 WHT 계산할 어떠한 방법은 되도록 와 에 대한 ? $r \ll d$ $f(r,d)$ $f(d,d) = O(d \log d)$ $f(r,d) = o(d \log d)$ $r = o(d)$

참고 :이 요구 사항은 작은 대해 보다 빠르게 실행되는 것을 원한다는 생각을 공식화하는 한 가지 방법 일뿐 입니다. $d \log d$ $r$

ds.algorithms linear-algebra

— 수레 쉬 벤 카트
소스

나는 당신이 다음 두 가지 쉬운 관찰을 알고 있다고 확신하지만 어쨌든 나는 다른 독자들을 위해 그것들을 기록 할 것입니다. (1) 간단한 곱셈은 O (rd) 시간을줍니다. r = o (log d) 인 경우에만 O (d log d)보다 낫습니다. (2) 입력 벡터가 희소하더라도 출력은 일반적으로 희소하지 않습니다. 이것은 r = 1 일지라도 f (r, d)가 o (d)가되기를 희망 할 수 없다는 것을 의미합니다.

— Ito Tsuyoshi

푸리에 변환의 동일한 질문에 대한 답이 무엇인지 아십니까?

— Robin Kothari

츠요시 : 예, (1)을 알고 있으며 실제로 이것이 필요한 응용 프로그램에서 수행되는 작업입니다. (2)도 마찬가지입니다. 로빈, 좋은 지적이야-나는 FT에 대해 아무것도 몰라 실제로 발굴을 시작하기에 좋은 곳일지도 모른다.

— Suresh Venkat

Wikipedia에서 파고 들었을 것입니다. FFT 페이지에는 희소 계산 문제와 관련이있을 수있는 두 개의 논문이 언급되어 있습니다.

— Suresh Venkat

동안 WHT 행을 정수 x로 색인화 $0 \le x \lt d$ $(-1)^{\langle x,y \rangle}$

예:

d = 4.

WHT H는

++++
+-+-
++--
+--+

임의의 열 집합은 00과 10입니다 (그 중에서 가장 왼쪽과 두 개 이상).

++
++
+-
+-

행 블록은

++
++

과

--
--

각 블록에는 반복 된 열, 누락 된 열 및 두 번째 블록에는 부정 된 열이 있습니다. 벡터 전처리 $(a,b)^T$ $(a+b,0)^T$

++
+-

$(a,b)^T$ $(-a-b,0)^T$

++
+-

— 마틴 스트라우스
소스