익스팬더 그래프의 NP-hard 문제?

EXPANDER GRAPHS 라는 제목의 2006 년 발표 자료에는 어떤 미스터리가 남아 있습니까? Nati Linial은 다음과 같은 열린 문제를 제기했습니다.

확장 그래프로 제한 될 때 그래프의 어떤 hard 계산 문제가 여전히 어려운가?$NP$

그 이후로 하드 문제에 대한 그러한 결과를 입증하기 위해 어떤 진전이 있었습니까?$NP$

"불균형 팽창기"이 질문의 목적 팽창기 (불평형 팽창기로 계산하면 : 된 그래프 등이 각 서브 세트에 대한 ' ⊆ , B ' ⊆ B 의 분획 A ' 와 B ' 사이 의 가장자리 는 약 | A ' | | B ' | / | A | | B $G=(A,B,E)$$A'\subseteq A$$B'\subseteq B$$A'$$B'$${|A'||B'|}/{|A||B|}$) 그렇다면 확장기에 대한 많은 문제 (예 : 제약 만족 문제)는 NP가 근사하기 어렵습니다.

특히, 두 개의 쿼리, 낮은 오류, PCP 정리 (2008 년 Ran Raz 포함)의 증거는 확장 그래프를 구성합니다.

확장기에서 많은 정확한 문제 (그리고 아마도 근사치 문제도)가 NP-hard라는 것을 쉽게 알 수 있다고 생각합니다. 아이디어는 임의의 상수도 그래프를 취할 경우이다 에 n 개의 정점과 다른 확장기 추가 H를 에 N 분리 된 꼭지점 사이의 정합 넣어 G 및 H를 , 다음 팽창기를 얻는다. 그 이유는 정점의 절반보다 작은 집합이 바깥쪽에 일치하는 가장자리의 일정한 비율을 갖거나 H 와의 교차점이 최대 0.51 의 H 정점을 갖기 때문 입니다.$G$$n$$H$$n$$G$$H$$H$$0.51$$H$

임의로 선택할 수 있기 때문에 (예 : 임의의 그래프를 취함) H 의 NP 문제에 대한 최적의 솔루션을 알 수 있으므로 결합 된 그래프에 대한 솔루션이 주어지면 희망 (문제에 따라 다름)이있을 수 있습니다. 적어도 G에 대한 근사 솔루션입니다 . 그러나 나는 구체적인 문제에 대해서는 이것을 확인하지 않았다.$H$$H$$G$

물론, 위에서 언급 한 바와 같이, 그러한 트릭을 수행 할 수없고 특히 알고리즘은 확장기 (expander)로 알려져 있고 일반적인 경우에는 알려지지 않은 자연 문제 (가장 독특한 게임)가 있습니다. 하나는 일반적으로 하드 NP있어하지만 쉽게 확장기에 (예를 들어, 그래프에 어떤 임의의 NP 어려운 문제를 가지고 문제의 일부 인위적인 예를 마련하고, 그래서 스펙트럼 갭 모든 인스턴스보다 더 수정할 수 있어야 은 YES ...)입니다.$1/\log n$