"가장자리 또는 고립 된 정점"삭제 게임의 승리 전략

이 완벽한 정보 게임은 알고 있거나 연구 한 그래프에서 재생됩니까?

그래프 주어지면 $G= (V,E)$ 두 명의 플레이어가 교대로 에지 또는 고립 된 노드를 선택합니다. 플레이어가 에지 $e = (u,v)$ 하면 두 개의 노드 $u$ 및 $v$ 가 입사 에지와 함께 삭제됩니다. 플레이어가 격리 된 노드를 선택하면 노드가 삭제됩니다. 이동할 수없는 첫 번째 플레이어가 게임을 잃습니다.

우승자를 찾는 복잡성은 무엇입니까?

비슷한 게임에 대한 언급이 있습니까?

reference-request combinatorial-game-theory

— 마르 치오 데 비아시
소스

고립 된 노드가 선택되면 제거되었다고 가정합니까? 그렇다면, 플레이어 0은 문제를 두 개의 동일한 구성 요소로 세분화 한 첫 번째 이동을 소비 한 다음 반대쪽 구성 요소를 미러링 한 다음 반대쪽 구성 요소를 미러링하여 동형이 아닌 모든 경로에서 승리합니다. 이것은 첫 번째 움직임이 경로에 대한 문제를 줄이기 때문에 플레이어 1이 사이클에서 승리 함을 의미합니다.

— Yonatan N

@YonatanN : 그렇습니다. 고립 된 노드를 고를 수 있습니다. 그러나 시뮬레이션 전략은 짝수 길이의 경로에서 작동합니다 (플레이어 0은 첫 번째 이동으로 2 개의 중앙 노드를 선택한 다음 플레이어 1의 이동을 미러링합니다). 11, 그리고 그것은 작동하지 않습니다 (실제로 길이 11의 경로에서 승자는 플레이어 1입니다).

— Marzio De Biasi

@Marzio De Biasi : 죄송하지만 좋은 게임을 할 때는 보통 손으로합니다. 내가 실수를하지 않는 한, 0 번 선수는 승리 전략을 가지고 있습니다. b) P3과 P7의 경우, 플레이어 1이 항상 이깁니다. c) P4와 P6의 경우, 플레이어 0이 이길 지 지는지를 결정할 수 있습니다. 이제 P11의 경우 :-v1, v2, ... v11을 사용하여 P11의 노드에 번호를 매 깁니다. -플레이어 0은 에지 v9, v10을 사용하고 나머지는 격리 된 노드 v11 및 P8입니다. 플레이어 1이 v11을 사용하면 짝수 경로가 있으므로 플레이어 0이 승리합니다. 그렇지 않으면, 선수 0은 a), b) 및 c)에 의해 이길 것입니다.

— user13136

내 프로그램 에 따르면 n 버텍스가있는 경로에서 게임에서 첫 번째 플레이어가 잃는 n≤100의 값은 3, 7, 23, 27, 37, 41, 57, 61, 71, 75, 91이며 불행히도, 나는 홀수 (이미 알려진) 이외의 패턴을 보지 못하고 OEIS 는 일치하는 것을 보여주지 않습니다.

— Ito Tsuyoshi

@ 츠요시 이토 : ... 쌍 차이를 취하십시오 : (3 7) (23 27) (37 41) (57 61) (71 75) (91 95) 그리고 당신은 4 4 4 4 4 4를 얻습니다 ... 패턴 :-) .... (3 ... 23) ... (37 ... 57) ... (71 ... 91) 그리고 20 20 20 ... 또 하나를 얻습니다! :-D

— Marzio De Biasi 2016 년

질문과 구별하기 위해 업데이트를 자체 답변으로 게시합니다 ( 여전히 열려 있음 ).

주석 (Ito Tsuyoshi 덕분)에 표시된 것처럼 문제는 경로에 대해 다항식 시간을 해결할 수 있습니다.

$Win(P_n) = 1$ $(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

0부터 시작하여 nim 값의 (계산 된) 시퀀스는 주기적입니다.

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

나는 엄격한 수학적 증거를 연구하지 않았지만 아이디어는 다음과 같습니다.

요소 을 계산하고 싶다고 가정하자 이면 첫 번째 이동 (가장자리 선택)이 경로를 (n-2,0), (n-3, 1), (n-4,2), ...). 새로운 nim 값은 다음과 같습니다 : $Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

세트의 처음 34 개 요소는 첫 번째 비 반복 시퀀스 (0,1,1,0, ...) (nim)에 의해 생성되며, 반복 시퀀스의 요소와 요소 . $(34-2-x) \bmod 34$

예를 들어 : : $x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

x = 0..33의 경우 결과 mex 시퀀스는 반복 시퀀스와 같습니다.

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

세트의 나머지 요소는 반복 시퀀스에서만 계산됩니다. ( 경우 쌍이 반복되므로 그들은 mex 결과를 변경하지 않습니다). x = 0..33의 결과 mex 시퀀스는 다음과 같습니다. $rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$ $j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

및 제외하고는 반복 시퀀스와 동일하며 ; 그러나 값은 반복되지 않는 시퀀스에서 해당 mex보다 낮으므로 $x=16$ $x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ = $mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

그리고 에 대해 $(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$ $Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$

— 마르 치오 데 비아시
소스

내 계산에 따르면 첫 번째 플레이어는 대한 승리 전략을 가지고 있으며 귀하의 주장에 대한 반례를 제시합니다 iff 입니다.

P_{23}

$P_{23}$

W i n (P_{n}) = 1

$Win(P_n)= 1$

(n \mod 34) \in {3, 7, 23, 27}

$(n \mod\, 34) \in \{3, 7, 23, 27\}$

— user13136

@ user13136 : nim 값을 확인 했습니까? 들어 순이자 마진 값이 0 (I 다른 프로그램 츠요시의 같은 값을 가지고, 그러나 아마 우리 둘 다 잘못이다).

P_{23}

$P_{23}$

— Marzio De Biasi

귀하의 프로그램에서 가능한 결함은 무시하는 것일 수 있습니다. 이 경우 첫 번째 플레이어는 항상집니다. 원하는 경우 지금 사례를 재생할 수 있습니다 .

P_{0}

$P_0$

P_{23}

$P_{23}$

— user13136

죄송합니다. 지금 떠나야합니다.

— user13136

(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})

$(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})$ (이동을 포함하는 이전 주석을 삭제할 수 있습니다)

— Marzio De Biasi