poset에 대한 단조로운 술어를 배우는 데 필요한 최악의 질문

고려 $(X, \leq)$ 위에 한정된 poset $n$ 항목 및 $P$ 미지 단조 위에 술어 $X$ (즉, 모든 대 $x$ , $y \in X$ , 만약 $P(x)$ 과 $x \leq y$ 다음 $P(y)$ ). 하나의 노드 x ∈ X를 제공 하고 P ( x )가 유지 되는지 여부를 알아 냄으로써 $P$ 를 평가할 수 있습니다 . 내 목표는 정확히 노드의 세트를 결정하는 X$x \in X$$P(x)$$x \in X$ 되도록$P(x)$ 의 몇 가지의 평가 지표로하여, 보유$P$ 가능한. (모든 이전 쿼리의 답변에 따라 쿼리를 선택할 수 있습니다. 모든 쿼리를 미리 계획 할 필요는 없습니다.)

전략 $S$ over $(X, \leq)$ 는 지금까지 실행 한 쿼리 및 응답에 대한 함수, 쿼리 할 노드 및 전략에 따라 모든 술어 에서이를 보장하는 함수입니다. 모든 노드 $P$에서 값을 알고있는 상태에 도달합니다 $P$. 실행중인 시간 $r(S, P)$ 의 $S$ 술어에 $P$ 쿼리의 수의 값을 알 필요가있다 $P$ 모든 노드에 있습니다. 의 최악의 실행 시간 $S$은 $wr(S) = \max_P r(S, P)$ . 최적의 전략$S'$ 예하다$wr(S') = \min_S wr(S)$ .

내 질문은 다음과 같습니다 : poset 를 입력 $(X, \leq)$하면 최적 전략의 최악의 실행 시간을 어떻게 결정할 수 있습니까?

[빈 poset 쿼리가 필요하고 (각 단일 노드에 대해 질문해야 함), 약 ⌈ log 2 n ⌉ 쿼리 의 전체 순서 가 필요하다는 것이 분명 합니다 (이진 검색을 통해 프론티어 찾기) ). 보다 일반적인 결과는 다음과 같은 정보 이론적 하한입니다. 술어 P에 대해 가능한 선택 의 수 는 ( X , ≤ ) 의 안티 체인의 수 N X 입니다 ( 단조 술어와 일대일 술어 사이에 일대일 맵핑이 있기 때문입니다 ) P 의 최대 요소로 해석되는 안티 체인$n$$\lceil \log_2 n \rceil$$P$$N_X$$(X, \leq)$$P$) 따라서 각 쿼리는 하나의 정보를 제공하므로 이전의 두 가지 경우를 하여 적어도 ⌈ log 2 N X ⌉ 쿼리 가 필요합니다 . 이것이 밀접하게 묶여 있습니까, 아니면 학습이 안티 체인 수보다 무의식적으로 더 많은 쿼리를 요구할 수있는 구조를 가진 포즈가 있습니까?]$\lceil \log_2 N_X \rceil$

이것은 완전한 대답은 아니지만 설명하기에는 너무 깁니다.

나는 바인딩 된 이 빡빡하지 않은 예를 발견했다고 생각 합니다.$\lceil \log_2 N_X \rceil$

다음 포즈를 고려하십시오. 접지 세트는 이며 a i 는 모든 i , j ∈ { 1 , 2 }에 대해 b j 보다 작습니다 . 다른 쌍은 비교할 수 없습니다. Hasse 도표는 4 주기입니다.$X=\{a_1, a_2, b_1, b_2\}$$a_i$$b_j$$i,j\in\{1,2\}$$4$

포셋의 혼란으로 모노톤 속성을 식별하겠습니다. 이 포셋에는 , { b 1 } , { b 2 } , { b 1 , b 2 } , { a 1 , b 1 , b 2 } , { a 2 , b 1 , b 2 } , { a $\emptyset$$\{b_1\}$$\{b_2\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_1,b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$ ,이 포셋에는 7 개의 안티 체인이 있습니다. 따라서이 자세에 대한 ⌈ log 2 N X ⌉ = ⌈ log 2 7 ⌉ = 3 입니다.$\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$$\lceil \log_2 N_X \rceil=\lceil \log_2 7 \rceil = 3$

이제 적의 주장에 따르면 모든 전략에는 최소 4 개의 쿼리가 필요하므로 모든 요소를 ​​쿼리해야 함을 알 수 있습니다. 임의의 전략을 수정합시다.

전략은 첫째 쿼리 경우 한 후, 상대의 답변 " P를 ( 1 ) 보유하지 않습니다." 그런 다음, 우리는 다섯 가능성으로 남아 있습니다 : ∅ , { b를 1 } , { b를 2 } , { b를 1 , b를 2 } , { 2 , b를 1 , b를 2 } . 따라서 어떤 경우인지 결정하려면 적어도 ⌈ 가 필요합니다.$a_1$$P(a_1)$$\emptyset$$\{b_1\}$$\{b_2\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$$\lceil \log_2 5\rceil = 3$더 많은 쿼리. 총 4 개의 쿼리가 필요합니다. 첫 번째 쿼리 인 경우 같은 인수는 적용 2 .$a_2$

전략이 먼저 쿼리 하면 공격자는 " P ( b 1 ) 보유 "라고 대답 합니다. 그리고 우리는 { b 1 } , { b 1 , b 2 } , { a 1 , b 1 , b 2 } , { a 2 , b 1 , b 2 } , { a 1 , b 2$b_1$$P(b_1)$$\{b_1\}$$\{b_1,b_2\}$$\{a_1,b_1,b_2\}$$\{a_2,b_1,b_2\}$$\{a_1,a_2,b_1,b_2\}$ . 따라서 이전과 같이 최소 3 개의 쿼리가 더 필요합니다. 총 4 개의 쿼리가 필요합니다. 첫 번째 쿼리가 경우에도 동일한 인수가 적용됩니다 .$b_2$

우리가 걸리는 경우 이 poset 병렬 복사본을 가지고 다음이 7 개 K 반 사슬을 따라서 결합이 제안 된 것은 ⌈ 로그 2 7 K ⌉ = 3 케이 . 사본의 각 네 개의 쿼리를 필요로하기 때문에 그러나, 우리는 적어도 필요한 4 개 k 개의 쿼리를.$k$$7^k$$\lceil \log_2 7^k \rceil = 3k$$4k$

아마도 더 큰 간격을 가진 더 큰 자세가있을 수 있습니다. 그러나이 주장은 계수를 향상시킬뿐입니다.

여기서 문제는 쿼리가 검색 공간을 균등하게 분할하지 않는 상황으로 보입니다. 그러한 경우, 상대방은 더 큰 반을 강제로 유지할 수 있습니다.

논문에서 모든 Poset은 중심 요소를 가지고 있으며 , Linial and Saks는 poset 에서 이상적인 식별 문제를 해결하는 데 필요한 쿼리 수가 최대 K 0 log 2 i ( X ) 임을 나타냅니다 ( 여기서 K 0 = 1 / ( 2 - 로그 2 ( 1 +가 로그인 2 5 ) ) 와 I ( X가 ) 의 수 이상이고 X . 그들이 "이상적"이라고 부르는 것은 실제로 하위 집합입니다$X$$K_0 \log_2 i(X)$$K_0 = 1/(2 - \log_2(1 + \log_2 5))$$i(X)$$X$단조로운 술어와 그들이 보유하지 않은 하위 지점 사이에는 일대일 대응 관계가 분명합니다. "식별 문제"는 제 설정과 마찬가지로 노드를 쿼리하여 식별하는 것입니다. 내가 관심있는 문제를 다루고 $i(X) = N_X$ 입니다.

따라서 결과에 따르면 정보 이론적 하한은 상대적으로 작은 곱셈 상수까지 엄격합니다. 따라서 이것은 기본적으로 필요한 질문 수에 대한 문제를 의 함수로 곱셈 상수까지 정합니다. log 2 N X 와 K 0 log 2 N X 사이 입니다.$N_X$$\log_2 N_X$$K_0 \log_2 N_X$

Linial과 Saks는 Shearer 가 K 0 보다 약간 작은 K 1에 대해 의 하한을 증명할 수있는 알려진 명령이 있다고 개인적 커뮤니케이션을 인용합니다 (이것은 의 작은 값에 대한 이러한 접근 시도 요시오 오카모토의 대답 K 1 ).$K_1 \log_2 N_X$$K_1$$K_0$$K_1$

이것은 완전히에서 필요한 질문의 수를 계산하는 내 질문에 대답하지 않는 이후, 그러나를 계산 N X를 에서 X 것은 # P-완료 , 나는 작은 희망이 있다는 느낌이 듭니다. (이 시점에 대한 의견은 환영합니다.) 여전히 Linial과 Saks의 결과는 밝아지고 있습니다.$X$$N_X$$X$

부울 n- 큐브 (또는 n- 요소 집합의 모든 부분 집합의 poset ( 2 S , ⊆ )) 의 경우 Korobkov와 Hansel의 정리가 답을 제공합니다. (각각 1963 년과 1966 년부터). 헨젤의 정리 [1]에 따르면 알 수없는 모노톤 부울 함수 (즉,이 포즈에서 알 수없는 모노톤 술어)는 최대 ϕ ( n ) = ($(\{0, 1\}^n, \leq)$$(2^S, \subseteq)$ 쿼리 (즉, 최악의 경우ϕ(n)질문). 이 알고리즘은 Korobkov 정리의 하한과 일치합니다 [2]. 이것은ϕ(n)-1개의쿼리로는 충분하지 않다고말합니다. (그래서 Hansel의 알고리즘은 최악의 경우에 최적입니다.) 두 명령문의 알고리즘은 결정 론적 결정 트리로 이해됩니다.$\phi(n) = \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} + \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor + 1}$$\phi(n)$$\phi(n) - 1$

반 사슬의 수의 대수 점근 동일하다 ($(\{0, 1\}^n, \le)$ 이므로 사이에 일정한 갭 인자가로그NX와 최적 알고리즘 성능φ(N)~2 ($\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} \sim 2^n / \sqrt{\pi n / 2}$$\log N_X$ .$\phi(n) \sim 2 \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$

불행히도, 웹에서 영어로 된 Hansel의 알고리즘에 대한 훌륭한 치료법을 찾지 못했습니다. n- 큐브를 ϕ ( n ) 으로 분할하는 것은 보조 정리를 기반으로합니다. $\phi(n)$ 특별한 특성을 가진 체인 합니다. 일부 설명은 [3]에서 찾을 수 있습니다. 하한에 대해서는 영어로 된 설명에 대한 언급이 없습니다.

이 결과에 익숙하기 때문에 Kovalerchuk의 논문에서 치료가 충분하지 않으면 arXiv에 대한 설명을 게시 할 수 있습니다.

별로 잘못하지 않은 경우, 적어도 poset 대한 Hansel의 접근 방식을 일반화하려는 시도가 있었으며 , 여기서 ( E k , ≤ ) 는 체인 0 < 1 < … < k - 1 이지만 바로 참조 할 수 없습니다. 부울 경우의 사람들은이 문제에 대해 최악의 경우가 아닌 복잡성에 대한 개념도 조사했습니다.$(E_k^n, \le)$$(E_k, \le)$$0 < 1 < \ldots < k - 1$

[1] G. Hansel, Sur le nombre des fonctions booléennes monotones de n 변수. CR Acad. 공상 과학 파리, 262 (20), 1088-1090 (1966)

[2] VK 코 로브 코프. 논리 대수의 단조 함수 수와 논리 대수의 임의 단조 함수에 대한 리졸 브 세트를 찾기위한 알고리즘의 복잡도 추정. 소비에트 수학. Doklady 4, 753-756 (1963) (러시아어 번역)

B. Kovalerchuk, E. Triantaphyllou, AS Deshpande, E. Vityaev. 모노톤 부울 함수의 대화식 학습. 정보 과학 94 (1), 87-118 (1996) ( 링크 )

[ 참고 : 다음 주장은 효과가없는 것 같지만 다른 사람이 같은 실수를하지 않도록 누군가가 해결할 수 있도록 여기에 남겨두고 있습니다. 문제는 아래와 같이 모노톤 함수 학습 / 식별에 대한 지수 하한이 문제에 대한 증분 다항식 알고리즘과 반드시 모순되는 것은 아닙니다 . 폴리 타임에서 두 개의 모노톤 함수의 상호 이중성을 검사하는 것과 동등한 것은 후자입니다.]

나는 에 대한 당신의 추측 이 일반적으로 거짓 이라고 생각합니다 . 실제로 log N X 쿼리가 필요한 경우 멤버쉽 쿼리를 사용하여 모노톤 함수 학습 에 대한 하한이 상당히 높다는 것을 의미 합니다 . 특히, poset의하자 X는 (만약 당신이 좋아하면, 보통의 순서와 부울 큐브 수 X가 의 파워 셋이다 { 1 , . . . , N } 으로 ⊆ 그 부분 순서로). 숫자 M 의 최대의 반 사슬의 X를 만족하는 기록 M $\log N_X$$\log N_X$$X$$X$$\{1,...,n\}$$\subseteq$$M$$X$$\log M = (1 + o(1))\binom{n-1}{\lfloor n/2 \rfloor}$$\log N_X$ is correct, then there is some monotone predicate on $X$ that requires essentially $\binom{n-1}{n/2} \approx 2^n$ queries. In particular, this implies a lower bound of essentially $2^n$ for the complexity of any algorithm solving this problem.

However, if I've understood correctly [which I now know I hadn't], your problem is equivalent to checking the mutual duality of two monotone functions, which can be done in quasi-polynomial time (see the intro of this paper by Bioch and Ibaraki, which cites Fredman and Khachiyan), contradicting anything close to a $2^n$ lower bound.

[1] Liviu Ilinca and Jeff Kahn. Counting maximal antichains and independent sets. arXiv:1202.4427