무한한 폭의 쉐퍼 정리 및 CSP

Schaefer의 이분법 정리는 대한 각 CSP 문제 가 다항식 시간에 풀 수 있거나 NP- 완전 하다는 것을 보여줍니다 . 예를 들어, SAT 및 Horn-SAT를 제외한 폭이 제한된 CSP 문제에만 적용됩니다. 폭이 무한한 일반적인 CSP 문제는 매우 어려울 수 있으며 (계산할 수없는 경우도 있음) "자연스럽고 NP에있는 문제"로 제한합니다.$\{0,1\}$

너비가 무제한 인 CSP 문제가 주어지면 각 에 대해 문제를 너비가 k 이하인 절로 제한하는 것을 볼 수 있습니다 . 쉐퍼의 정리가 이제 적용되며 제한된 문제는 P 또는 NP- 완료입니다. 일부 k 의 경우 k 제한 문제가 NP- 완료이면 제한되지 않은 문제입니다. 모든 k 에 대해 k 제한 문제가 P에 있을 때 상황이 명확하지 않습니다 .$k$$k$$k$$k$$k$$k$

Schaefer의 이분법 정리는 모든 쉬운 경우를 해결하는 4 가지 알고리즘을 사용합니다. 주어진 CSP 문제에 대해 제한 문제는 항상 알고리즘 A로 해결할 수 있다고 가정합니다 . 알고리즘 A를 사용하여 제한되지 않은 문제를 해결할 수도 있습니다. 또는 알고리즘 A가 무제한 경우 다항식 시간이 아니기 때문에 문제의 경도에 대해서는 무지합니다.$k$

이런 종류의 문제가 고려 되었습니까? 우리가 "무지한"지점에 도착한 예가 있습니까?

“자연 부울 CSP”의 경우 k 제한 버전이 모든 k에 대해 P 이면 무제한 버전도 P에 있다고 주장합니다. 아래에서“자연 부울 CSP”를 정의하겠습니다.

Schaefer의 정리에 따르면 관계 의 유한 집합 S 에 대한 부울 CSP 는 다음 조건 중 하나 이상이 충족되면 P에 있고, 둘 중 어느 것도 만족하지 않으면 NP- 완료됩니다.

1. S의 모든 관계 (상수 0 제외)는 모든 변수에 1을 할당하여 충족됩니다.
2. S의 모든 관계 (상수 0 제외)는 모든 변수에 0을 할당하여 충족됩니다.
3. S의 모든 관계 는 2-CNF 공식과 같습니다.
4. S의 모든 관계 는 Horn-clause 공식과 같습니다.
5. S의 모든 관계 는 이중 혼절 공식과 같습니다. "이중 혼절 식"은 각 절에 최대 하나의 양수 리터럴이 포함 된 CNF 공식을 의미합니다.
6. S의 모든 관계 는 affine 절의 결합과 같습니다.

이제 P ≠ NP라고 가정하고 S 가 무한대 인 경우를 고려하십시오 . 경우] K -restricted 버전마다위한 P에 K 쉐퍼 정리의 모든 유한의 서브 세트로 한 다음, S를 만족하는 상기 여섯 개 개의 조건 중 적어도 하나의 전체 세트가이 수단 (S) 를 만족 여섯 개 개의 조건 중 적어도 하나. 이것은 arity에 대한 제한이없는이 CSP도 P에 있음을 의미합니까? 아직.

시 S는 무한대이며, 우리는 입력 식의 각 절을 부여하는 방법을 지정한다. 우리는 {0,1}에서 일부 surjective 매핑이 있다고 가정 ^* 에 S 의 관계의 인코딩 지정, S는 . 부울 CSP는 S 와이 인코딩 기능 을 모두 제공하여 지정됩니다 .

위의 각 사례 3, 4, 5 및 6에는 조건을 만족하는 관계를 나타내는 자연스러운 방법이 있습니다. 사례 3의 2-CNF 공식, 사례 4의 혼절 공식 등입니다. 관계가 2-CNF 공식과 동등한 경우에도, 그 인코딩이 2-CNF 공식과 동등한 2-CNF 공식에 쉽게 액세스 할 수 있다는 보장은 없습니다.

이제 부울 CSP는 인코딩 기능이 다음을 충족 할 때 자연 스럽다고 말합니다 .

• 관계의 인코딩과 모든 변수에 대한 할당이 주어지면 관계의 만족 여부는 다항식 시간으로 계산 될 수 있습니다. (참고 : 이렇게하면 문제의 CSP가 항상 NP에있게됩니다.)
• 조건 3, 4, 5 또는 6을 만족하는 관계를 인코딩하면 위에서 지정한 자연 표현을 다항식 시간으로 계산할 수 있습니다.

만약 그렇다면 것을 쉽게 알 수 S의 상기 여섯 조건의 부호화의 만족 한 S의 만족이 "자연 스러움"조건, 우리는 해당 알고리즘을 적용 할 수있다. 처음에 언급 한 주장은 P = NP의 경우와 P ≠ NP의 경우를 모두 고려하여 증명할 수 있습니다.