NC = P 결과?

복잡성 동물원에있는 항목에 지적 EXP 이 경우 L = P 후 PSPACE = EXP. Savitch의 NPSPACE = PSPACE 이기 때문에 기본 패딩 인수가 로 표시되도록 말할 수있는 한 우리는 또한 Ruzzo의 자원 제한적 교대 계층 구조를 통한 L NL NC P를 알고 있습니다.

(NL = 피) \Rightarrow (스페이스 = 경험치) .

$(\text{NL} = \text{P}) \Rightarrow (\text{PSPACE} = \text{EXP}).$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

NC = P 인 경우 PSPACE = EXP를 따릅니다.

리차드 립톤 (Richard Lipton)의 정신에서이 질문에 대한 다른 해석은 P의 일부 문제가 다항식 공간보다 더 많은 지수 시간 절차를 필요로하지 않는 것보다 병렬화 될 수없는 것입니까?

또한 NC = P의 다른 "놀라운"결과에 관심이있을 것입니다.

편집 : Ryan의 대답은 추가 질문으로 이어집니다 : PSPACE = EXP를 보장하는 것으로 알려진 가장 약한 가설은 무엇입니까?

사 비치 비결정론 적 테이프와 결정 론적 테이프 복잡성의 관계, Journal of Computer and System Sciences 4 (2) : 177-192, 1970.
WL 루조. 균일 한 회로 복잡성에 대해서는 Journal of Computer and System Sciences 22 (3) : 365-383, 1971.

편집 (2014) : 기존 Zoo 링크를 업데이트하고 다른 모든 클래스에 대한 링크를 추가했습니다.

cc.complexity-theory conditional-results

— 안드라 살 라몬
소스

내가 NC가 무엇인지 모르는 유일한 사람은 아니지만, 여기 링크가 있습니다 : en.wikipedia.org/wiki/NC_%28complexity%29

— Emil

@Andras : 이미 알고 있지만 아직 언급하지 않은 또 다른 결과는

가

감소 에서 완전한 문제를 가지고 있기 때문에

계층 구조가 붕괴 된다는 것 입니다.

N C

$\mathsf{NC}$

P

$\mathsf{P}$

L

$\mathsf{L}$

— Joshua Grochow

답변:

예. 교대 튜링 기계 인식 언어의 클래스로서 볼 수 사용 과 공간 시간. (이것은 제 Ruzzo로 확인되었다.) 교대 튜링 기계 사용하는 클래스 공간하지만 걸릴 수 시간. 간결하게하기 위해이 클래스들을 호출 해 보자 $NC$ $O(\log n)$ $(\log n)^{O(1)}$ $P$ $O(\log n)$ $n^{O(1)}$ 및 . $ATISP[(\log n)^{O(1)},\log n] = NC$ $ASPACE[O(\log n)] = P$

두 클래스가 동일하다고 가정하십시오. 교체하는 가진 상기에서 (즉, 표준 변환 표제어를 적용) 번을 얻 $n$ $2^n$

. $TIME[2^{O(n)}] = ASPACE[O(n)] = ATISP[n^{O(1)}, n] \subseteq ATIME[n^{O(1)}] = PSPACE$

만약 다음 아니라 있기 때문에 에서 - 완전한 언어 . $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP = PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

편집 : 위의 답변은 더 교육적이지만, 다음과 같은 간단한 주장이 있습니다. 이미 " 는 폴리 로그 공간에 포함되어 있습니다"와 표준 번역에서 따릅니다. $EXP = PSPACE$ $P$ " 는 폴리 로그 공간에 포함되어 있습니다"는 보다 훨씬 약한 가설 입니다. $P$ $NC = P$

세부 사항 : 회로 패밀리는 일부 상수에 대해 깊이 를 갖기 때문에 이러한 모든 회로 패밀리는 공간 에서 평가 될 수 있습니다 . 따라서 . 그래서 의미 $NC$ $(\log n)^c$ $O((\log n)^c)$ $NC \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $P = NC$ . 변환 (교체 적용 과 ) 함축 . 완성 언어가존재하면 인수가 완료됩니다. $P \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $n$ $2^n$ $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

업데이트 : : 안드레아스 '추가 질문을 해결, 나는 같은 것을 증명할 수 있어야한다 생각 모든 IFF에 에서 모든 다항식 희소 언어 시간이 풀 수있는가 폴리 로그 공간. (다항식으로 드문 드문다는 것은 모든 에 대해 언어에서 길이 의 최대 문자열 이 있음을 의미합니다. $EXP=PSPACE$ $c$ $n^{O(\log^c n)}$ $poly(n)$ $n$ $n$ .) true의 경우, 증거 아마 Hartmanis, Immerman의 라인을 따라 이동하고 있음을 Sewelson의 증거 것이다 의 모든 다항식 희소 언어 IFF 에 포함되어 . ( , 폴리 공간에서의 시간은 여전히 를 암시하기에 충분합니다 .) $NE = E$ $NP$ $P$ $n^{O(\log^c n)}$ $PSPACE=EXP$

— 라이언 윌리엄스
소스

좋은 답변 주셔서 감사합니다. 덱스터 코젠의 계산 이론 69 페이지 Ruzzo의 클래스 좋은 "균일"표기를 갖는다 :

여기서,

경계 공간

범위의 시간, 및

경계 교대. 그러면

동안

S T A (f, g, h)

$STA(f,g,h)$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

NC = S T A (\log n, *, (\log n)^{O (1)})

$\text{NC} = STA(\log n, {*}, (\log n)^{O(1)})$

는 실제로 구성을 강조합니다.

P = S T A (\log n, *, *)

$\text{P} = STA(\log n, {*}, {*})$

— András Salamon

위의

라고 말하고 있습니다. 그러나 나는 이것들이 동일하다고 생각합니다. 다항식 시간 소요 머신

공간 만한다

교대 만 얻어 다른 교류 시스템으로 전환 될 수있다

N C = S T A (\log n, (\log n)^{O (1)}, *)

$NC = STA(\log n, (\log n)^{O(1)}, *)$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

시간을

공간. (다른 방향은 분명합니다.) 아이디어는 각 다항식 시간 존재 단계와 범용 단계가

시간 및

공간에서만 실행되도록 "sped up"되도록 더 많은 대안을 삽입하는 것입니다., Savitch 정리의 선을 따라.

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

(\log n)^{O (1)}

$(\log n)^{O(1)}$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Ryan Williams

필요한 것은 "\ NP"와 같은 것을 동물원의 항목에 자동으로 연결하는 일종의 그리스 몽키 스크립트입니다.

— Suresh Venkat

Ryan의 답변을 보았지만 의견에 맞추기에는 너무 긴 다른 관점을 제공하고 싶었습니다.

에서 이 L에 대해 알아야 할 모든 증거는 비공식적으로, 지수에 의해 폭파 때, L은 PSPACE 될 것입니다. 지수에 의해 날려 진 NL도 PSPACE가되기 때문에 NL에도 동일한 증거가 적용됩니다. $L = P \Rightarrow PSPACE = EXP$

마찬가지로 NC가 지수에 의해 폭파되면 PSPACE를 얻습니다. 나는 회로의 관점에서 이것을보고 싶다 : NC는 폴리 로그 깊이를 갖는 다항식 크기 회로의 클래스이다. 폭파되면 다항식 깊이의 지수 크기 회로가됩니다. 적절한 균일 성 조건이 추가되면 이것이 정확히 PSPACE임을 알 수 있습니다. NC가 L- 균일 성으로 정의되면 PSPACE- 균일 성을 얻습니다.

증거는 쉬워야합니다. 한 방향으로, TQBF와 같은 PSPACE- 완전 문제를 취하고 지수 크기의 AND 및 OR 게이트를 사용하여 수량자를 표현하십시오. 다른 방향으로, 다항식 깊이 회로를 재귀 적으로 순회하십시오. 스택 크기는 다항식이므로 PSPACE에서 수행 할 수 있습니다.

마지막으로 질문을 보았을 때 (Ryan의 답변을 읽기 전에)이 논쟁을 생각해 냈으므로 버그가있을 수 있습니다. 그들을 지적하십시오.

— 로빈 코타 리
소스

한 가지 수정 : NC에는 다항식 크기와 다항식 깊이의 회로가 있지만 변환 후 여전히 다항식 깊이입니다.

— Ryan Williams

@ 라이언 : 당신이 맞아요. 내가 고칠 게

— Robin Kothari

시공간 경계 교대 튜링 머신 시뮬레이션의 관점에서 조금 더 자세히 설명합니다.

라고 가정하십시오 . $P = NC$

이후 , 우리는 얻을 $NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

피 = 에이 티 나는 에스 피 ((로그 (엔))^{영형 (1)}, 영형 (로그 (엔))) .

$P = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))).$

이제 선형 시간 범용 시뮬레이션 문제 고려하십시오. 여기서 Turing 머신 에 대한 인코딩 과 길이 의 입력 문자열 를 고려 하고 이 최대 단계 에서 를 허용 하는지 알고 싶습니다 . $LinU$ $M$ $x$ $n$ $M$ $x$ $n$

우리는 입니다. 따라서 상수 (충분히 큰) 가 존재하여 $LinU \in P$ $c$

(※) 엘 나는 엔 유 \in 에이 티 나는 에스 피 ({로그}^{기음} (엔), 기음 로그 (엔)) .

$(*) \; LinU \in ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

패딩 인수 (약간 까다로운 주석 참조)의 결과, 우리는

(1) 디 티 나는 엠 이자형 (엔) \subseteq 에이 티 나는 에스 피 ({로그}^{기음} (엔), 기음 로그 (엔)) .

$(1) \; DTIME(n) \subseteq ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

패딩 인수를 확장하면

(2) 디 티 나는 엠 이자형 (엔^{케이}) \subseteq 에이 티 나는 에스 피 ({케이}^{기음} {로그}^{기음} (엔), 케이 기음 로그 (엔)) .

$(2) \; DTIME(n^k) \subseteq ATISP(k^c\log^c(n), kc\log(n)).$

(삼) 디 티 나는 엠 이자형 (2^{엔^{케이}}) \subseteq 에이 티 나는 에스 피 ({케이}^{기음} 엔^{케이 기음}, 케이 기음 엔^{케이}) .

$(3) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq ATISP(k^cn^{kc}, kcn^{k}).$

또한, 교번 시공간 경계 튜링 기계의 시뮬레이션에 대한 알려진 결과가있다. 특히, 우리는 알고있다

에이 티 나는 에스 피 ({로그}^{기음} (엔), 기음 로그 (엔)) \subseteq 디 에스 피 에이 기음 이자형 (영형 ({로그}^{기음 + 1} (엔))) .

$ATISP(\log^c(n), c\log(n)) \subseteq DSPACE(O(\log^{c+1}(n))).$

따라서 모든 자연수 대해 (본질적으로) 다음을 갖습니다 . $k$

(2^{※}) 디 티 나는 엠 이자형 (엔^{케이}) \subseteq 디 에스 피 에이 기음 이자형 ({케이}^{기음 + 1} {로그}^{기음 + 1} (엔))

$(2^{*}) \; DTIME(n^k) \subseteq DSPACE(k^{c+1}\log^{c+1}(n))$

(삼^{※}) 디 티 나는 엠 이자형 (2^{엔^{케이}}) \subseteq 디 에스 피 에이 기음 이자형 (엔^{케이 (기음 + 1)}) .

$(3^{*}) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq DSPACE(n^{k(c+1)}).$

에서 , 우리가 얻을 것이라고 . $(3^{*})$ $EXP = PSPACE$

===================== 사고 후 ===================

또한 그 통지에 중요한 의미 상수 대해서는 . $P = NC$

에이 티 나는 에스 피 ((로그 (엔))^{영형 (1)}, 영형 (로그 (엔))) = 에이 티 나는 에스 피 ({로그}^{기음} (엔), 영형 (로그 (엔)))

$ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))) = ATISP(\log^c(n), O(\log(n)))$

c

$c$

모든 의견이나 수정을 환영합니다. :)

— 마이클 위 하르
소스

N C^{k} ⊊ P S P A C E

$NC^k\subsetneq PSPACE$

k

$k$

N C^{2} ⊊ P S P A C E

$NC^2\subsetneq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

N C \neq P S P A C E

$NC\neq PSPACE$

P - u n i f o r m N C^{1} = P S P A C E

$P-uniform NC^1=PSPACE$

N C = A T I S P ((\log (n))^{O (1)}, O (\log (n)))

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$

@Turbo 후속 감사합니다 !! 나는 당신이 370 페이지의 하단에있는 정의를 다음에서 읽어야한다고 생각합니다. sciencedirect.com/science/article/pii/0022000081900386

— Michael Wehar

N C

$NC$

P

$P$

N C

$NC$