가진 산술 회로

입력 숫자 로 사용되며 , , 및 함수로 구성된 게이트가 있는 회로를 고려하십시오. . 회로의 출력은 또한 의 숫자입니다 . $[0,1]$ $\max(x, y)$ $\min(x, y)$ $1 - x$ $\frac{x+y}{2}$ $[0,1]$

이 모델 또는 밀접하게 관련된 모델이 연구되었는지 아는 사람이 있습니까?

특히이 회로에 대한 만족도 문제를 해결하려고합니다. 즉,이 회로로 얻을 수있는 최대 값을 계산합니다 (실제로 컴팩트 한 도메인에서 연속 기능을 나타내므로 최대 값을 얻습니다).

비고 :이 모델에 대한 저의 연구는 가중 시간 논리를 통한 것이므로 후자에 관련된 모델도 유용 할 것입니다.

arithmetic-circuits

— 숄
소스

분명히이 문제는 NP-hard입니다. (만족도 :

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$ 및

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$ 가 있으며 AND, OR 및 NOT을 수행 할 수 있습니다.) 이 문제가 NP에 있습니까? 이러한 회로에 값 1을 산출하는 입력이 있는지 여부에 대한 결정 질문은 NP에있는 것처럼 보입니다. 이러한 입력이 있으면 0/1 인 입력이 있기 때문입니다.

— 닐 영

대해 가능한 가능한 진리 값 중 하나를 비 결정적으로 선택하면 , 여기서 는 또는 노드가 회로에서 이것은 선형 프로그래밍 문제로 바뀌고 이는 P로 해결할 수 있습니다. 따라서 원래 최대화 문제의 결정 버전은 NP입니다. (당신이 관련 정보에 대한 수학 퍼지 로직의 핸드북 Haniková의 장을보고 할 수 있도록이, Łukasiewicz 로직의 satisfiability 문제의 변형입니다.)

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— 에밀 예라 벡

@Shaull : 좀 더 자세히 설명하겠습니다. 보자 (여기서 최소 또는 최대 게이트있는 회로의 노드 수 회로의 크기에 의해 제한된다), 및하자 및 게이트의 입력 노드 수 . 모든 에 대해 추가 제한 조건 또는 . 그러한 선택 은 입니다. 이러한 선택이 고정되면 를 또는 로 바꾸어 회로를 단순화 할 수 있습니다

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$ 따라서, 그것은 문제의 원래 변수 인 변수와 그에 대응하는 추가 변수를 가진 선형 방정식 시스템으로 변합니다.

— Emil Jeřábek

... 회로의 노드. 포함 추가적인 제약을 만족한다는 부등식, 부등식 원래 변수 경계 , 출력 노드 값이 있는지라는 부등식 . 그런 다음 이것은 추가 제약 조건의 선택에 따라 선형 프로그램이며 회로는 값 얻 습니다. 관련 선형 프로그램에 솔루션이 있도록 제약 조건을 선택할 수 있습니다.

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

— Emil Jeřábek

또한 선형 프로그램의 최적 값은 폴리 토프의 정점에서 얻을 수 있습니다. 최적의 솔루션의 분모 차원의 행렬의 행렬식으로 표현 될 수 있음이 수단 엔트리 일정한 크기의 정수이고, 거기에만 제로 엔트리 각 행과 같은 그것 의해 제한됩니다 .

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— Emil Jeřábek

답변:

이러한 회로에 대한 만족도 문제 (즉, 회로 와 에서 와 같은 입력 가 있는지 여부 )가 NP에 있는지 여부를 결정합니다. 닐 영의 의견과 피터 쇼어의 대답. $C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

다음과 같은 방법으로 선형 프로그래밍에 대한 문제의 비 결정적 감소를 구성 할 수 있습니다. 보자 의 모든 노드 수 (여기에서 최소 또는 최대 게이트이다 , , 회로의 크기이다), 및하자 및 게이트의 입력 노드 수 . 모든 에 대해 두 개의 추가 제한 조건 또는 중 하나를 선택하십시오 ( 총 선택 가능). 그러한 선택이 고정되면 각 를 또는 로 바꾸어 회로를 단순화 할 수 있습니다 $\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ 결과 회로는 변수가 회로의 원래 입력 변수 및 회로의 노드에 해당하는 추가 변수를 갖는 선형 방정식 시스템으로 설명 할 수 있습니다 . $n$

또한 추가 제약 조건이 충족되었다는 부등식, 원래 입력 변수를 로 제한하는 부등식, 출력 노드의 값이 인 부등식도 포함 합니다. 그런 다음 이것은 추가 제약 조건의 선택에 따라 크기 의 선형 프로그램이며 회로는 값 얻 습니다. 관련 선형 프로그램에 솔루션이 있도록 제약 조건을 선택할 수 있습니다. 선형 프로그래밍은 P에 있기 때문에 문제가 NP에 있음을 나타냅니다. $m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

또한 선형 프로그램의 최적 값은 폴리 토프의 정점에서 얻을 수 있습니다. 최적의 솔루션의 분모 사이즈의 정방 행렬의 행렬식으로 표현 될 수 있음이 수단 엔트리 일정한 크기의 정수이고,이 전용 제로 엔트리 각 행과 같은 의해 제한됩니다 . $O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

이러한 종류의 감소는 종종 제안 퍼지 논리 (우카시 비츠 논리와 같은) 및 관련 시스템에서 만족도의 복잡성에 상한을 두는 데 유용합니다. (사실, 원래 문제는 Łukasiewicz의 만족도의 작은 변형으로 대신 회로에 해당합니다 .) 관련 결과에 대한 개요를 찾을 수 있습니다. 수학 퍼지 논리 핸드북 X 장, Vol. II. $\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— 에밀 제라 벡
소스

이 문제는 NP-hard입니다.

게이트 min ( x , y ), max ( x, y ) 및 1- x로 3-SAT를 얻을 수 있습니다 .

우리가 원하는 것은 모든 변수가 만족할 수 있으면 1을 얻을 수있는 회로로 3-SAT 문제를 줄이고 그렇지 않으면 1보다 작은 것을 달성 할 수 있습니다.

최소한 많은 표현을 취하여 모든 변수를 0 또는 1로 강제 할 수 있으며 이러한 표현에 max ( x , 1− x )가 포함되도록 할 수 있습니다.

이제 3-SAT 문제 x ∨ y ∨ z의 모든 절에 대해 max ( x , y , z ) 표현식을 최소로 넣습니다 .

만족스럽지 않은 3-SAT 문제에 대한 최적의 값이 무엇인지 모르지만 엄격하게 1보다 작습니다.

— 피터 쇼어
소스

예, 위의 의견에서 지적했듯이 NP 경도는 "쉬운 방향"입니다. 실제로 평균 게이트를 사용하지 않고 min과 max 만 사용하는 경우 해당 부울 회로를 만족할 수 있으면 최대 값이 1이고, 그렇지 않으면 1/2을 표시하는 것이 쉽습니다. 변수). 어쨌든 문제는 위의 주석에서 해결되었습니다.

— Shaull

정확히 당신이 요구 한 것이 아니라 유사한 회로가 나타나는 맥락.

게이트 를 제거하면 (제목에도 언급되지 않았습니다!) 모노톤 산술 회로가 나타납니다. Razborov의 고전적인 모노톤 회로 하한은 Pavel Pudlák ( 해상도 및 절단면 교정을위한 하한 )에 의해 동일한 결과로 모노톤 산술 회로로 확장되었습니다 . $1-x$

— 유발 필름 러스
소스

감사. 그러나이 경우

게이트 를 제거하면 문제는 사소한 것입니다. 최대 값은 1이며 모든 변수가 값 1을 얻을 때 발생합니다.

1 - x

$1-x$

— Shaull