정확한 평면 전기 흐름

각 그래프는 1Ω 저항을 나타내는 평면 그래프 G로 모델링 된 전기 네트워크를 고려하십시오. G에서 두 정점 사이 의 정확한 유효 저항을 얼마나 빨리 계산할 수 있습니까? 마찬가지로 1V 배터리를 G의 두 꼭짓점에 연결하면 각 가장자리를 따라 흐르는 정확한 전류를 얼마나 빨리 계산할 수 있습니까?

Kirchhoff의 잘 알려진 전압 및 전류 법칙은 이 문제를 줄여 에지 당 하나의 변수를 갖는 선형 방정식 시스템을 해결합니다. Klein and Randić (1993)에 의해 명시 되었지만 Doyle and Snell (1984) 의 초기 연구에서 암시 된 보다 최근의 결과 는 정점 당 하나의 변수를 가진 선형 시스템을 해결하는 문제를 줄여 노드의 잠재력을 나타냅니다 . 이 선형 시스템의 행렬은 그래프의 라플라시안 행렬입니다.

어느 선형 시스템이 정확하게 해결 될 수 중첩 해부 평면 세퍼레이터 [사용 시간 1,979 립톤 로즈 Tarjan를 ]. 이것이 가장 빠른 알고리즘입니까?$O(n^{3/2})$

Spielman, Teng 등의 최근 주요 결과는 임의의 그래프 에서 라플라시안 시스템이 거의 선형에 가까운 시간에 풀 수 있음을 의미합니다 . 현재 최고의 러닝 타임 은 [ Koutis Miller Peng 2010 ]과 Simons Foundation의 Erica Klarreich가 제공하는 이 놀라운 기사를 참조하십시오 . 그러나 특히 평면 그래프의 정확한 알고리즘에 관심이 있습니다.

일정한 시간에 정확한 실제 산술을 지원하는 계산 모델을 가정하십시오.

중첩 해부를 사용하면 에서 평면 그래프를 기반으로 선형 시스템을 풀 수 있습니다 . 이것은에서 언급 한 예를 들어했다 종이 내가 귄터 기계적 및 아레스 리보와이에있는 아론과 Yuster에 의해 종이 .$O(\sqrt{n^\omega})$

이전 논문은 또한 에서 일반적인면의 정점들 사이의 페어 와이즈 저항을 계산하는 방법을 포함하고 있습니다.$O(\sqrt{n^\omega})$ . Kenyon 의이 문서 에는 유용한 아이디어가 포함되어있을 수도 있습니다.