다국어 DFA 최소화

DFA의 일반화에 관심이 있습니다. 평소와 같이 상태 설정 , 유한 알파벳 , 의해 에 정의 된 -action 및 초기 상태 ; 그러나 일반적인 터미널 세트 대신에 우리 는 의 부분 집합의 패밀리 를 취합니다 . 다국어 DFA 은 튜플입니다. $Q$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $Q$ $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ $q_0$ $(T_i)_{i\in 1..n}$ $Q$ $M$

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

과 $L \subseteq \Sigma^*$ 에 의해 인정 $M$ iff $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ 일부 $i\in 1..n$ . 밝히다 $(L_i(M))_{i\in 1..n}$ 원한다면 M이 인정하는 언어 군이 될 것입니다.

좋아, 이제 내 질문에 : 일반 언어 가족이 주어지면 $(L_i)_{i\in 1..n}$ 최소 다국어 DFA를 찾고 싶습니다. $M$ 위에서 설명한 바와 같이 $L_i = L_i(M)$ 모든 $i\in 1..n$ 즉, $|Q|$ 이러한 모든 머신에서 최소화됩니다. 내 질문은 표준 DFA 최소화 이론과 유사한 효율적인 방법이 있습니까? 반대로이 문제가 어려울 수 있다는 증거가 있습니까?

automata-theory dfa

— gdmclellan
소스

표준 파티션 재정의 기반 알고리즘은 주어진 하위 집합 각각에 대해 수락 여부에 따라 초기 상태 세트를 파티셔닝하여 시작하도록 수정 된 것 같습니다.

T_{i}

$T_i$ 단일 세트가 아닌

T

$T$ 바로 작동해야합니다. 왜 그렇지 않습니까? 분할해야 할 때 상태 쌍만 분할하므로 상태의 가능한 가장 미세한 조정이 여전히 생성됩니다.

— David Eppstein

동등성 관계를 정의하면 @DavidEppstein의 주석 증명이 쉽습니다.

x \sim y

$x\sim y$ iff

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i}y$ 모든

i

$i$ , 어디

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i} y$ Myhill-Nerode 동등성 관계입니다. 그런 다음 표준 최소화 알고리즘과 같은 줄을 따라 진행할 수 있습니다.

— Shaull

이해하지 못한다. 이 문제에 대한 답은 각기 다른 최종 상태를 제외하고 동일한 "설정"을 가진 DFA 통합의 최소 DFA를 찾는 것입니다.

1.. n

$1..n$ ? 또한 인정의 선언

L = {. . .}

$L=\{...\}$ 정확하게 이해되지 않는 것 같습니다. 문자열과 상태 세트를 혼합하는 것 같습니다.

— vzn

DavidEppstein과 Shaull의 견해는 설득력이 생겼습니다. 몫이 여전히 최소한의 자동 장치를 생성한다고 확신 할 시간이있을 때 Myhill-Nerode 정리를 살펴볼 시간이 있습니다. 뒤늦게 보면 너무 분명해 보입니다.

— gdmclellan

@vzn : 원래 오토 마톤의 언어를 함께 통합하고 싶지는 않습니다. 그리고

T_{i}

$T_i$ 겹칠 수 있습니다. 언어가 포함 된 다국어 DFA

A

$A$ 과

B

$B$ 예를 들어

s \in A

$s\in A$ 하지만

s \notin B

$s\notin B$ . 언어 인식을 정의하는 데 사용되는 표기법은 확장하여 정의합니다.

δ

$\delta$ 에

Σ^{*}

$\Sigma^*$ -액션

Q

$Q$ 모두 다음 규칙에 따라

q \in Q, σ \in Σ, s \in Σ^{*}

$q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$ :

q σ = δ (q, σ), q (s σ) = (q s) σ

$q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$ .

— gdmclellan

짧은 대답 . 유한 한 정규 언어 모음 $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ ,이 제품군을 인식하는 독창적 인 최소 결정 론적 완전 다중 오토 마톤이 있습니다.

세부 사항 . 경우 $n = 1$ 표준 구성에 해당하며 일반적인 경우는 크게 다릅니다. 주어진 언어 $L$ 그리고 한마디 $u$ , 허락하다 $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ . 동등성 관계 정의 $\sim$ 의 위에 $A^*$ 설정하여

u \sim v ⟺ for each L \in L, u^{- 1} L = v^{- 1} L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$ 이후

L_{i}

$L_i$ 이 합치는 유한 한 지수를 가지고 있습니다. 또한, 각각이보기 쉽다

L_{i}

$L_i$ 에 의해 포화

\sim

$\sim$ 그리고 각각에 대한

a \in A

$a \in A$ ,

u \sim v

$u \sim v$ 암시

u a \sim v a

$ua \sim va$ . 로 표현하자

1

$1$ 빈 단어와

[u]

$[u]$ 그만큼

\sim

$\sim$ 단어의 클래스

u

$u$ . 허락하다

A_{L} = (Q, [1], \cdot, (F_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n})

$\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ 다음과 같이 정의 된 결정적 다중 자동이어야합니다.

$Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$ ,
$[u] \cdot a = [ua]$ ,
$F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$ .

건축에 의해 $[1] \cdot u \in F_i$ 만약에 $u \in L_i$ 따라서 $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ 가족을 받아들입니다 $\mathcal{L}$ . 그것을 증명하기 위해 남아 $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ 최소한입니다. 그것은 대수적으로 강한 대 수학적 의미에서 실제로는 최소입니다 (이것은 최소 수의 상태를 가짐을 의미합니다). 허락하다 $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ 과 $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ 두 개의 다중 오토마타가 되십시오. 형태 $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ 의 추측지도입니다 $Q$ 위에 $Q'$ 그런

$f(q_-) = q'_-$ ,
...에 대한 $1 \leqslant i \leqslant n$ , $f^{-1}(F'_i) = F_i$ ,
모든 $u \in A^*$ 과 $q \in Q$ , $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$ .

그런 다음 접근 가능한 결정적 다중 자동 $\mathcal{A}$ 수락 $\mathcal{L}$ 로부터의 형태가있다 $\mathcal{A}$ 위에 $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ . 이를 증명하기 위해 먼저 다음을 확인합니다. $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ 그런 다음 $u_1 \sim u_2$ . 지금 $f$ 에 의해 정의 $f(q) = [u]$ 어디 $u$ 어떤 단어입니까 $q_- \cdot u = q$ . 그런 다음에 $f$ 세 가지 필수 특성을 충족합니다.

끝은 약간 스케치입니다. 자세한 내용이 필요하면 알려주십시오.

— 제이 핀
소스