점근 적으로,

의 순열 $\sigma$ 를 고려하십시오 . 반전은 및 와 같은 인덱스 쌍 으로 정의됩니다 . $[1..n]$ $(i, j)$ $i < j$ $\sigma(i) > \sigma(j)$

를 최대 반전 으로 의 순열 수로 $A_k$ 를 정의 합니다. $[1..n]$ $k$

질문 : 대한 엄격한 점근선은 무엇입니까 $A_k$ ?

관련 질문이 이전에 요청되었습니다 . 같은 Kendall-Tau 거리를 갖는 순열 수

그러나 위의 질문은 계산 에 관한 것 입니다. /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble 은 동적 프로그래밍을 사용하여 계산할 수 있습니다. 정렬 교환 $A_k$

정확히 반전을 갖는 순열의 수에 대해서도 연구되었으며 생성 함수로 표현할 수 있습니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions $k$

그러나 닫힌 양식 수식이나 점근 적 바인딩을 찾을 수 없습니다.

co.combinatorics permutations

— 비나 야크 파락
소스

시퀀스에 대해 다항식을 생성하는 경우 다항식에

를 곱하여 접두사 합계에 대한 다항식 생성을 유도 할 수 있습니다 . 귀하의 경우, 당신은 링크 된 다항식을 사용하여 정확하게 k 반전을 계산합니다.

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$

— Suresh Venkat

이것은 oeis.org/A161169입니다

— András Salamon

@SureshVenkat 팁 감사합니다. 그러나 나는 여전히

과

관점 에서이 복잡한 다항식에서

의 계수를 찾는 것에 갇히게 될 것이며 어떻게 해야하는지 알지 못합니다.

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— Vinayak Pathak

의 계수를 구 하려면 생성 다항식 의

번째 도함수를 취하여

에서 평가하십시오 .

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— Sasho Nikolov

위키에있어서, 순열의 수 정확히와 역전이의 계수 에서 이것을 . 이것은 $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + X) (1 + X + X^{2}) \dots (1 + X + \dots + X^{n - 1}) .

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

순열에서의 수 있도록

이하인와

반전이있는 순열의 수와 동일한

와 정확하게

역전. (: 테이크 힌트 이것은 깔끔한 조합 증거도있다

및 삭제

c (n + 1, k) = \sum_{l = 0}^{k} c (n, k - l) .

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

우리가 의 계수에만 관심이 있다면 , 대한 인수 은 아무런 차이가 없습니다. 따라서 경우 는 의 계수입니다 . $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$

\begin{aligned} 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) (1 + X + \dots + X^{k} + \dots)^{n - k} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \frac{1}{(1 - X)^{n - k}} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \sum_{t = 0}^{\infty} (\binom{t + n - k - 1}{t}) X^{t} . \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

c (n, k) = \sum_{t = 0}^{k} (\binom{n + t - k - 1}{t}) c (k, k - t), n > k .

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

$k$ $t = k$

c (n, k) = (\binom{엔 - 1}{케이}) + {영형}_{케이} (엔^{케이 - 1}) = \frac{1}{케이!} 엔^{케이} + {영형}_{케이} (엔^{케이 - 1}) .

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

$k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ $t$ $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$

(\binom{n - 1}{k}) \leq c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) .

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$

— 유발 필름 러스
소스

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$ 그래서

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$ . 이것은 물론 빡빡하지는 않지만 근사치에서 기대할 수있는 것보다 더 우아한 경계입니다.

— SamM