한 그룹의 사람들을위한 일련의 식사 및 k 크기의 테이블에 적합한 좌석 배치

세트 감안할 때 내가 크기의 테이블에서 식사의 순서 그들을 앉아 싶은 사람들의 K . (물론, 식사마다 모든 | S | 를 놓을 수있는 충분한 테이블이 있습니다 .) 나는 같은 사람과 두 번 테이블을 공유하는 사람이 없도록 이것을 준비하고 싶습니다. 일반적인 값은 | S | = 45 및 k = 5 및 6-10 식사.$S$$k$$|S|$$|S|=45$$k=5$

좀 더 추상적 인 방법 으로 말하면, 각 파티션이 카디널리티 k 의 쌍으로 분리 된 하위 집합 서브 세트 와 이러한 두 하위 집합 사이의 교차점이 하나 이상의 요소를 포함하는 추가 전역 속성으로 구성 되는 일련의 파티션을 찾고 싶습니다 . 나는 이것이 이론적이거나 조합적인 문제로 표현 될 수 있다고 생각한다.$S$$k$

나는 문제의 더 나은 공식화와 내 영역 밖에서의 관련 문헌에 대한 포인터에 감사한다.

배경 : 이것은 Schloss Dagstuhl의 좌석 배치에 사용될 수 있습니다. Schloss Dagstuhl 에서는 많은 컴퓨터 과학자들이 일주일 동안 자신의 연구에 대해 논의합니다. 현재 좌석은 무작위로 이루어지며 의심 할 여지없이 일부 사람들은 일주일 동안 같은 사람들과 두 번 (또는 더 자주) 앉는 것을 발견합니다. 또한 의심 할 여지없이 Google은 이에 대한 불만을 제기하고이를 개선하는 방법을 모호하게 제안합니다. 나는 이것을 더 잘 이해하고 싶다. 문제의 더 강력한 공식화는 누가 서로 옆에 앉아 있는지를 최적화하는 것과 관련이 있지만 이것이 5 크기의 테이블과 관련이 없다고 생각합니다.

응용 프로그램 외부에서 흥미로운 질문은 주어진 와 k에 제공 될 수있는 최대 식사 수 , 즉 그러한 파티션이 얼마나 많은지에 대한 것입니다.$S$$k$

다음은 원하는 설정을 제공하는 원래 답변 (아래)의 변형입니다. 크기가 5 인, 45 명 및 10 인 식사이며 한 식사에는 4 개의 테이블이 몇 개 있습니다.

9의 필드로 하자. 4 개의 수직, 퇴화 라인 { ( b , x ) | 모든 b = 0 , 1 , 2 , 3 마다 x ∈ F } 이고 그들의 사람들을 "빈"것으로 선언합니다. 우리는 81-9x4 = 45 명으로 남아 있습니다.$F$$\{(b,x) | x \in F\}$$b = 0,1,2,3$

9 개의 식사는 슬로프 됩니다. 4 개의 빈 축 퇴선이있는 교차점은 테이블 크기를 9-4 = 5로 줄입니다.$a = 0,1,\ldots,8$

남은 축 퇴선 모든 b = 4 , 5 , 6 , 7 , 8에 대해 x ∈ F } . 여기에서 테이블 크기는 9입니다. 그러나 (어떤 솔루션이든) 크기 9의 테이블을 크기 5의 테이블과 크기 4의 테이블로 나눌 수 있습니다.$\{(b,x) | x \in F\}$$b = 4,5,6,7,8$

사람이 몇 명 더 있으면 크기 11의 필드를 사용할 수 있습니다.

먼저 명과 k 식사를 다루겠습니다 .$k^2$$k$

k 크기 의 유한 필드 를 선택하고 F × F 인 사람을 식별하십시오 . 각 식사에는 경사, 테이블에 해당 경사와 평행 한 선이 있습니다.$F$$k$$F \times F$

구체적으로, 식사 에는 k 개의 테이블 { ( x , a x + b ) | 모든 b ∈ F에 대해 x ∈ F } .$a$$k$$\{(x,ax+b) | x \in F\}$$b \in F$

원하는 교점 속성은 뚜렷한 경사가있는 선이 정확히 한 점에서 교차한다는 사실입니다.

명 을 처리하려면 두 그룹을 각각 2 그룹의 k 2로 나누고 위의 구성을 각 그룹에 적용하십시오. 2 k 2 - k = 45 를 처리하려면 (첫 번째 그룹에서) { ( x , x ) | x ∈ F } 를 "비어 있음" k - 1 명이 있는 몇 개의 테이블이있을 수 있습니다 .$2k^2$$k^2$$2k^2 - k = 45$$\{(x,x)|x\in F\}$$k-1$

더 많은 식사를 위해 예를 들어 여섯 번째 식사가 시작될 때 두 그룹으로 다른 파티션을 선택할 수 있습니다. (두 그룹이 "혼합"되도록하기 위해 원래 파티션을 인터리브한다고 가정하십시오.) 물론 이것은 일부 교차점을 초래할 수 있습니다.

여기에 당신이 봉사 할 수있는 식사의 수에 대한 상한이 있습니다.

$|S| = n$$n$$k$$n/k$

$S$$n/k$$k$$\Theta(nk)$

$n$$\Theta(n^2)$$O(n/k)$

실제로 상수를 찾는 것은 어렵지 않으며 수학을 할 때 정확히 의 상한을 얻습니다.$\frac{n-1}{k-1}$

두 사람이 같은 테이블에 정확히 한 번만 앉기를 원한다면 이것을 분해 가능한 2 설계 라고 하며 많이 연구했습니다. 물론 몇 끼만 건너 뛰면 두 사람이 최대 한 번 만날 수있는 문제를 해결할 수 있습니다. (그러나 다른 해결책이있을 수 있습니다.)

결정적 알고리즘이 필요한지 확실하지 않지만 Markov 체인 Monte Carlo 방법을 사용하여 과거에 비슷한 문제를 해결했습니다 .

Github에서이 접근 방식의 실제 예를 볼 수 있습니다. 이 프로그램은 긍정적이거나 부정적 일 수있는 일련의 좌석 제약 조건 ( "필수"또는 "필수")을 고려하여 고정 된 크기의 테이블에 사람들 그룹을 배치하려고합니다. ) 및 절대 또는 상대 ( "권장")

참고 :이 프로그램은 해결되지 정확히 당신이 제안하는 것과 같은 문제를하지만 마르코프 체인 몬테 카를로 방법의 작동 시범을 준다, 그것이 문제의 필요에 따라 쉽게 조정할 수 있음을 충분히 가까이입니다.

이 프로그램은 한 저녁 식사에 대한 문제를 해결하지만 귀하의 경우 문제에 접근하는 쉬운 방법은 각 저녁 식사에 대해 알고리즘을 한 번 실행하는 것입니다. 매번 각 식당의 이전 동반자를 퍼지 또는 절대 부정적인 요구 사항으로 제공합니다. 퍼지 요구 사항의 장점은 완벽한 배열을 찾을 수없는 경우에도 모든 입력에서 알고리즘이 중지된다는 것입니다.

이 과정에서 우리는 먼저 절대 요구 사항에 따라 각 식당을 앉히려고 시도합니다. 절대 요구 사항이 상대적으로 적은 경우에만 작동하기 때문에 프로세스 의이 부분을 건너 뛸 수 있습니다. 그렇지 않으면 당신 은 엄청나게 큰 문제로 끝납니다 !

다음 단계에서는 일련의 테이블을 만들고 초기 구성을 위해 참가자를 테이블에 무작위로 할당하고 충족 된 퍼지 요구 사항의 수를 나타내는 점수를 계산합니다. 식당 쌍은 무작위로 전환되며 새 구성이 바람직한 지 여부를 판별하기 위해 해당 테이블에 대한 점수가 다시 계산됩니다.

프로세스의이 부분은 여러 초기 구성으로 이상적으로 반복되어야하며 병렬로 쉽게 계산할 수 있습니다.

유효한 좌석 배치는 | S | 정점, 여기서 d는 저녁 식사의 수이며 최대 k와 최대 코드가 1입니다. 사소한 해결책은 모든 사람이 항상 혼자 앉게하는 것입니다.