k- 정규 그래프의 해밀 성

평면형 (Garey, Johnson, Tarjan, SIAM J. Comput. 1976) 또는이 분식 (Nishizeki, Akiyama, 및 Saito, J. Inform. Proc. 1980) 또는 Hamilton 곡선이 Jordan 곡선의 배열에 의해 형성된 그래프 일지라도 4 규칙 그래프에 존재하는지 테스트합니다 (Iwamoto and Toussaint, IPL 1994).

k- 정규 그래프의 해밀 성을 테스트하기 위해 NP- 완전한 것으로 알려진 다른 k는 무엇입니까?

내가 관심이있는 특별한 경우는 6 개의 정규 그래프이며 그래프에 홀수의 꼭지점이 있다는 추가 조건이 있습니다. 이 경우 NP- 완전 (또는 다항식)으로 표시 될 수 있으면 http://arxiv.org/abs/1009.0579에 설명 된 그래프 그리기 문제에 영향을 줄 수 있습니다 . "정점 수의 정점"조건은 실제로 알고 싶은 것은 6 개의 정규 그래프의 경우 그래프에 해밀턴 사이클 또는 이분 2- 요인이 포함되어 있는지 여부입니다. 홀수의 꼭지점을 가짐으로써 이분자 2- 요인이 해밀턴 사이클의 가능성 만 남기는 가능성을 제거합니다.

첫 번째 단계는 그래프에 정점이 여러 개인 것으로 가정합니다. 두 번째 단계에서는 구성을 확장하여 k가 짝수 인 경우 그래프를 홀수 개의 정점으로 만드는 방법을 보여줍니다.

해결책은 다른 답변에서 제안 된 아이디어를 개선 한 것입니다.

첫 번째 부분

제 : 주어진 정규적인 그래프 의 정점 짝수, 하나 그래프 계산할 수 이다 - 정규을하고, IFF에 해밀턴 인 해밀턴이다.G H ( k + 1 ) H $k$$G$$H$$(k+1)$$H$$G$

증명 : 정규 그래프 의 사본 두 개를 가져 와서 과 라고합니다 . 정점 경우 과 가 해당 복사본이되게하십시오. 꼭짓점이 있는 도당을 만듭니다 . 이 도당에서 두 개의 정점 와 를 선택하고 그 사이의 가장자리를 제거하십시오. 다음으로 을 연결 하고 를 . 가 대한이 성분을 나타내도록 하자 .$k$$G$$G_1$$G_2$$v \in V(G)$$v_1$$v_2$$k+2$$v$$v'$v 1 v ′ v 2 v ″ C ( v ) $v''$$v_1$$v'$$v_2$$v''$$C(v)$$v$

모든 꼭짓점에 대해 이것을 반복 하고 가 결과 그래프를 나타내도록하십시오.$G$$H$

분명히, 그래프 는 규칙이다. 가 해밀턴 인 경우에만 가 해밀턴 이라고 주장합니다 .K + 1 H $H$$k+1$$H$$G$

한 방향이 분명합니다. 의 Hambiltonian주기가 주어지면 의 주기로 변환 할 수 있습니다 . 실제로주기가 정점 방문 할 때마다 모든 정점을 방문하는 동안 에서 (또는 그 반대로) 이동하는 것으로 해석합니다 . 따라서 의 해밀턴 사이클이 발생 합니다. (여기서 우리는 원래 정점 수가 짝수라는 사실을 사용합니다. 사이클이 홀수이면 고장이 발생합니다.)H v v 1 v 2 C ( v ) $G$$H$$v$$v_1$$v_2$$C(v)$$H$

다른 방향으로 의 해밀턴 사이클을 고려하십시오 . 그것은 여야하며 주기의 일부분이 방문한다는 점에서 시작 , 방문 모두의 정점 와 잎에서 (또는 대칭 옵션). 실제로 해밀턴 사이클은 동일한 에서 들어오고 수 없습니다 . 이와 같이, 에서 의 해밀턴 사이클은 에서의 해밀턴 사이클과 같은 자연 해석으로 해석된다 . QED.C ( v ) v 1 C ( v ) v 2 v i H $H$$C(v)$$v_1$$C(v)$$v_2$$v_i$$H$$G$

두 번째 부분

쓰요시 (Tsuyoshi)에 의해 아래에 언급 된 바와 같이, 임의의 3 정규 그래프는 짝수의 정점을 갖는다. 따라서 짝수 개의 정점이 있는 정규 그래프 에는 문제가 없습니다 . 즉, 위의 축소는 정규 그래프의 경우 문제가 어렵다는 것을 보여 주지만 결과 그래프에는 짝수의 정점이 있습니다.$3$$k$

이는 다음과 같은 문제가 NP-hard라는 것을 의미합니다.

문제점 A : 대해 K- 정규 그래프 경우 결정 정점 짝수 특정 에지 거치지 해밀 토니안 사이클 갖는 .$G$$e$

그러나 에 인스턴스 가 주어지면 원하는 문제로 줄일 수 있습니다. 실제로, 우리 는 clique에서 하나의 edge를 삭제하고 두 끝점을 의 끝점에 연결하고 를 그래프에서 제거 하기 전에와 같이 edge 를 꼭짓점 의 clique로 대체합니다 . 분명히 새로운 그래프 :( G , e ) e k + 1 e e $k$$(G, e)$$e$$k+1$$e$$e$$H$

• $H$ 는 규칙적입니다.$k$
• G의 $H$ 는 Hamiltonian입니다. 는 Hamiltonian이고 는주기를 사용 합니다.$G$$e$
• | V ( G ) | + K + 1 $H$ 는 꼭짓점 => 에는 꼭짓점 수가 홀수입니다.$|V(G)| + k+1$$H$

참고하는 것이 - 정규 그래프에 대한 홀수 정점 짝수 있어야 따라서 더 없다 (단 가장자리를 카운트) 로, 정점의 홀수 정규적인 그래프는 홀수 인.k k $k$$k$$k$$k$

결과

정규 그래프에 대한 해밀턴 사이클이 있는지 여부를 결정하는 것은 NP-Hard 입니다. 그래프에 홀수 개의 정점이있는 경우에도 문제는 NP-Hard로 유지됩니다.k ≥ $k$$k\geq 3$

물론, 내가 바보 같은 실수를 저지른 것은 항상 가능합니다 ...

운동

우리는 그래프에서 이동하려면 - 정규로 그래프 즉 (말) - 정규 다음에 지수 적으로 의존하는 크기 그래프 반복 결과를 상기 축경 의한 그래프 . 정규 그래프 및 가 주어지면 정규 그래프 를 구성 할 수 있고 그 크기는 및 다항식입니다 . 여기서 은 꼭짓점의 수입니다. 의 . 또한, 경우에만, 해밀턴 인 해밀턴이다.2 k k k G i > 2 H ( k + i ) k , i n n G G $k$$2k$$k$$k$$G$$i >2$$H$$(k+i)$$k,i$$n$$n$$G$$G$$H$

(이 문제를 해결하는 방법을 알고 있기 때문에 질문이 아닌 연습으로 게시하고 있습니다.)

편집 : 의견에서 지적 했듯이이 증거는 잘못되었습니다. (글을 삭제해야합니까?)

Hamiltonicity가 k- 정규 그래프에 대해 NP-hard라면 직관적으로 느껴지고 (k + 1)-정규 그래프에 대해서는 NP-hard 여야합니다. 여기에 봉투 뒷면 축소가 있는데, 나에게는 잘 보이지만 물론 실수가있을 수 있습니다.

G를 k- 정규 그래프로하자. G '를 G의 그래프 직교 곱과 모서리라고하자. 즉, G '는 두 개의 G 사본이있는 그래프이며 모든 정점이 해당 사본에 연결됩니다. 각 정점이 1 개의 추가 모서리를 가지므로 G '는 이제 (k + 1) 규칙입니다.

주장 : G '에 해밀턴 사이클이있는 경우에만 G에 해밀턴 사이클이 있습니다.

증거 : G에 해밀턴 사이클이있는 경우 G '에 사이클이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 해밀턴 사이클에서 (u, v)가 우위라고합시다. 해당 모서리를 사용하지 않고 u에서 v로주기를 이동하고 이제 모서리를 사용하지 않고 v에서 v '로 이동합니다. 여기서 v'는 G의 사본에서 v에 해당하는 정점입니다. 이제주기를 역순으로 이동합니다. 이 그래프에서 우리를 다시 u '로 가져올 것입니다. 이제 u '에서 u로 이동하면 사이클이 완료됩니다.

G '에 정점 u에서 시작하는 해밀턴 사이클이있는 경우 G에 대해 동일한 순회 시퀀스를 고려하십시오. 동일한 그래프에서 인접한 정점으로 이동할 때마다 G에서 동일한 이동을 수행합니다. 다른 그래프의 해당 정점에 대해서는 아무것도하지 않습니다. 모든 이동은 그래프 G에서 유효하고주기는 꼭짓점 u에서 끝나기 때문에 이것은 해밀턴주기입니다.