" "를 1 차 공식으로 어떻게 표현할 수 있습니까? [닫은]

" "를 1 차 공식으로 어떻게 표현할 수 있습니까? $P=PSPACE$
어떤 수준의 산술 계층 구조에이 수식이 포함되어 있습니까 (그리고 현재 포함 된 계층 구조의 최소 레벨은 무엇입니까)?

cc.complexity-theory lo.logic descriptive-complexity

— 화성
소스

math.stackexchange.com/questions/313634/…

— 화성

아마, 당신의 정의 대신 SAT의 PSPACE - 완전 문제를 사용하여 동일한 립톤의 증거를 사용할 수 있습니다 및 당신은 얻을 같이 표현 될 수있다 즉, 문장입니다. 그러나 IMO 그것은 일종의 "해킹"입니다. ... :-)

ψ (x, c, y)

$\psi(x,c,y)$

P \neq P S P A C E

$P \neq PSPACE$

\forall x, c \exists y ψ (x, c, y)

$\forall x,c \; \exists y \; \psi(x,c,y)$

Π_{2}

$\Pi_2$

— Marzio De Biasi

나는 당신이 "거짓"으로 표현할 수있는 내 인생과 세상의 모든 재산을 걸었습니다. 즉, 제안 논리에서도 표현할 수 있습니다. :)

— Shaull

@ 숄. 확실한. 그리고 이것이 올바른 표현임을 보여 주면 필요한 모든 소유물을 구입할 수 있습니다. 코멘트 공간이 너무 짧아서 증거를 포함 할 수 없다고 항의하지 마십시오.

— Vijay D

@ VijayD-나는 미끼를 취할 것이다 : 나는 정말 훌륭한 증거를 찾았고 주석 공간이 충분하다. 그러나 나는 글꼴이 마음에 들지 않습니다 ...

— Shaull

답변:

먼저, 나는 그 진술 이 거짓 이기 때문에 "거짓"이 표현하는 것이 제안 된 질문에 대한 의견을 다루고 싶다 . 이것은 좋은 농담 일 수 있지만 실제로 이런 식으로 생각하는 것은 매우 해 롭습니다. 특정 형식 체계에서 특정 문장을 표현하는 방법을 물으면 진실의 가치에 대해 이야기하지 않습니다. 우리가 그렇다면 누군가가 물었을 때 "무한한 많은 소수가 있다는 사실을 어떻게 기록 할 수 있습니까?" 우리는 "3 + 3 = 6"으로 대답 할 수 있지만, 그렇게하지는 않을 것입니다. 같은 이유로 "false"는 " 어떻게 기록 합니까?"에 대한 올바른 대답이 아닙니다 . 저는 Frege와 Russell이 그 교훈을 가르치려고 열심히 노력했다고 생각합니다. 좋아요, 이제 대답합니다. $P = PSPACE$ $P = PSPACE$

를 표현하는 방법을 보여 드리겠습니다 . 다른 방향은 비슷하며 를 얻기 위해 함께 결합 할 수 있습니다. 어쨌든, 목적 에 따라 만 표현하면 충분합니다 . $PSPACE \subseteq P$ $PSPACE = P$ $PSPACE \subseteq P$

의 구조와 유사한 기술을 사용 Kleene의 술어 $T$ 우리가 경계 quantifer 식 만들 수 (따라서 상주하는 말하는 "경우) 우리 인코딩 된 머신을 실행 하고 공간 사용량을 바인드 하면 머신은 입력 승인합니다 . " 여기 의 길이입니다 . , 및 이 주어지면 우리는 얼마나 많은 시간과 공간이 필요한지에 대한 원시 재귀 바운드를 계산할 수 있습니다 (즉, 최대 $accept_{space}(k, m, n)$ $\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$ $k$ $|n|^m$ $n$ $|n|$ $n$ $k$ $m$ $n$ $|n|^m$ 공간 및 최대 시간). 그런 다음 계산 된 범위 내에있는 가능한 모든 실행 추적을 간단히 검색합니다. 이러한 검색은 다소 비효율적이지만 기본 재귀 적이므로이를 한정된 수식으로 표현할 수 있습니다. $2^{|n|^m}$

실행 시간이 의해 바인딩되는 유사한 공식 이 있습니다. $accept_{time}(k, m, n)$ $|n|^m$

이제 공식을 고려하십시오 : 최대 공간 을 사용하는 모든 기계 대해, 두 기계가 정확히 동일한 수용하도록 최대 시간 을 사용 하는 기계 가 있다고한다 . 즉, 수식은 입니다. 이 수식은 입니다.

\forall k, m . \exists k^{'}, m^{'} . \forall n . a c c e p t_{s p a c e} (k, m, n) \Leftrightarrow a c c e p t_{t i m e} (k^{'}, m^{'}, n) .

$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$

k

$k$

| n |^{m}

$|n|^m$

k^{'}

$k'$

| n |^{m^{'}}

$|n|^{m'}$

n

$n$

P S P A C E \subseteq P

$PSPACE \subseteq P$

Π_{3}^{0}

$\Pi^0_3$

" is in " 문장을 대신 표현하고자한다면이를 개선 할 수 있습니다 . 이는 TQBF 가 PSPACE complete이므로 polytime에있는 것이 와 동일하므로 대부분의 응용 프로그램에 충분해야합니다 . 하자 공간에서 TQBF을 인식하는 기계 (의 코드) 수 . 그런 다음 " "는 로 표현 될 수 있습니다 이 수식은 입니다. 복잡한 이론가라면 더 잘 할 수 있는지 알 수있을 것입니다 (그러나 나는 의심합니다). $TQBF$ $PSPACE \subseteq P$ $k_0$ $|n|^{m_0}$ $TQBF \in P$

\exists k^{'}, m^{'} . \forall n . a c c e p t_{s p a c e} (k_{0}, m_{0}, n) \Leftrightarrow a c c e p t_{t i m e} (k^{'}, m^{'}, n) .

$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$

Σ_{2}^{0}

$\Sigma^0_2$

— 안드레이 바우어
소스

첫 번째 단락은 논리적 인 텍스트 형식과 거의 같습니다. xkcd.com/169

— Vijay D

Andrej는 이미 를 문장 으로 쓸 수 있다고 했습니다. 이 분류가 문장이 문과 동등하면 이 사실이 관련성이 없다는 점에서이 분류가 최적이라고 언급하겠습니다 . 보다 구체적으로, 오라클 세트 되도록 바이 정의이다 자유로운 2 차 변수와 -formula 하지만 어느 하나로 정의 아니다 . 인수는 ( 대해 설명되어 있지만 대해 동일하게 작동 합니다.) $P=\mathit{PSPACE}$ $\Sigma^0_2$ $\Pi^0_2$ $A$ $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ $\Sigma^0_2$ $A$ $\Pi^0_2$ $P=\mathit{NP}$ $\mathit{PSPACE}$ /mathpro/57348 . (사실, 세트가 적절한 의미에서 완전 하다는 아이디어를 정교하게 보여줄 수 있습니다 .) $\Sigma^0_2$

편집 : 링크 된 주석에 제공된 토폴로지 증거는 짧지 만 까다로울 수 있습니다. 다음은 직접적인 강제 주장입니다.

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ 는 형식 의 공식 으로 작성할 수 있습니다. 에서 는 입니다. 모순에 대한 가정이 또한 동일하다 -formula . 및 되도록 oracles , 수정하십시오 . $\Pi^0_2$ $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$ $\theta$ $\Delta^0_0$ $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ $\Pi^0_2$ $\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$ $B$ $C$ $P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$ $P^C=\mathit{PSPACE}^C$

이후 , 와 같은 이 존재합니다 . 그러나 는 한정된 공식이므로 의 진리 값을 평가할 때는 Oracle의 유한 부분 만 사용합니다. 따라서, 한정된 부분이 존재 의 되도록 마다 오라클 용 연장 . $\phi(B)$ $y_0$ $\theta(B,0,y_0)$ $\theta$ $\theta(B,0,y_0)$ $b_0$ $B$ $\theta(A,0,y_0)$ $A$ $b_0$

하자 나타내고 연장 오라클 하고 동의 정의되지 않는다. 이후 및 오라클에 한정된 변화의 영향을받지 않는, 우리가 . 상기와 같은 인수, 존재 하고 제한된 부분 의 되도록 마다에 대한 연장 . 우리는 가정 할 수 확장 . $C[b_0]$ $b_0$ $C$ $b_0$ $P^A$ $\mathit{PSPACE}^A$ $\psi(C[b_0])$ $z_0$ $c_0$ $C[b_0]$ $\eta(A,0,z_0)$ $A$ $c_0$ $c_0$ $b_0$

같은 방식으로 계속해서 우리는 숫자 , 및 유한 부분 오라클 무한 시퀀스를 구성합니다. 그런 $y_0,y_1,y_2,\dots$ $z_0,z_1,z_2,\dots$ $b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$

$\theta(A,n,y_n)$ 마다 오라클 용 연장 , $A$ $b_n$
$\eta(A,n,z_n)$ 마다 오라클 용 연장 . $A$ $c_n$

이제 는 모든 과 을 확장하는 오라클이되어야합니다 . 그런 다음 1과 2는 와 동시에 유지 된다는 것을 의미하며 , 이는 서로 보완 적이라는 가정과 모순됩니다. $A$ $b_n$ $c_n$ $\phi(A)$ $\psi(A)$

— 에밀 제라 벡
소스

그런 좋은 답변이 현재 문을 닫은 질문에 대한 것이

— 슬프다