흥미로운 조합 최적화 문제 생성

메타 휴리스틱에 대한 과정을 가르치고 있으며 프로젝트라는 용어에 대한 고전적인 조합 문제의 흥미로운 사례 를 생성해야합니다 . TSP에 집중하자. 우리는 차원 그래프를 다루고 있습니다 . 물론 임의의 에서 가져온 값으로 비용 행렬을 사용하여 그래프를 생성하려고 시도했지만 경로 비용에 대한 히스토그램 (많은 임의의 경로를 샘플링하여 그려 짐)이 있음을 알았습니다. 매우 좁은 정규 분포 ( 는 이지만 는 약 )입니다. 이것은 대부분의 임의 경로가 평균보다 낮고 최소 비용 경로가 임의 경로에 매우 가깝기 때문에 문제가 매우 쉽다는 것을 의미합니다.$200$$U(0,1)$$\mu$$~100$$\sigma$$4$

그래서 나는 다음과 같은 접근법을 시도했다 : 행렬을 생성 한 후 그래프 주위를 길게 무작위로 걸어서 (Bernoulli with ) 가장자리 값을 임의로 두 배 또는 절반으로 줄입니다. 이것은 모든 값을 낮추는 경향이 있으며 결국 0에 도달하지만 올바른 단계 수를 취하면 around 및 around 으로 분포를 얻을 수 있습니다 .$U(0,1)$$p=0.5$$\mu$$2$$\sigma$$1$

내 질문은, 우선 흥미로운 문제에 대한 좋은 정의 인가? 이상적으로는 다중 모드 (가장 일반적인 이웃 기능)이며 최소값 근처에 경로가 거의 없으므로 대부분의 임의 솔루션이 최적에서 멀리 떨어져있는 인스턴스를 원합니다. 두 번째 질문은이 설명에서 그러한 특성을 가진 인스턴스를 어떻게 생성 할 수 있습니까?

더 어려운 인스턴스를 생성하는 일반적인 방법 중 하나는 다음과 같습니다.

• 무작위 문제 인스턴스로 시작하십시오.
• "숨겨진 백도어"내장 : 좋은 솔루션 (이미 존재하는 솔루션보다 훨씬 나은 솔루션)을 임의로 선택하고 문제 인스턴스를 수정하여이 솔루션을 문제 인스턴스에 강제로 포함시킵니다.

예를 들어, TSP의 경우 다음과 같은 작업을 수행 할 수 있습니다. 랜덤을 선택하여 랜덤 문제 인스턴스 생성$U(0,1)$비용 매트릭스. 그런 다음 문제 인스턴스를 조정하여 더 나은 솔루션을 숨기십시오. 각 정점을 정확히 한 번만 방문하는 둘러보기를 임의로 선택하고 해당 둘러보기의 가장자리 가중치를 줄입니다 (예 :$U(0,c)$ 어디 $c<1$; 기존 무게를 줄입니다. 또는 고정 된 확률로 기존 모서리를 수정하십시오). 이 조정 절차를 통해 최적의 솔루션이 선택한 특별한 여행이 될 가능성이 높습니다. 운이 좋으며 합리적인 임베딩을 선택하면 특수 솔루션을 숨긴 위치를 쉽게 식별 할 수 없습니다.

이 접근법은 우리가 트랩 도어 단방향 문제를 만들고자하는 암호화의 일반적인 아이디어에서 비롯됩니다. 비밀 트랩 도어에 대한 지식 없이는 문제를 해결하기가 어렵지만 비밀 트랩 도어에 대한 지식이 있으면 문제가 매우 쉬워집니다. 다양한 트랩 문제에 비밀 트랩 도어를 포함시키려는 시도가 많았으며 (트랩 도어를 추가 한 후에도 여전히 문제의 강도를 유지함) 혼합 된 성공률을 보였습니다. 그러나이 일반적인 접근 방식은 귀하의 목적에 따라 작동하는 것처럼 보입니다.

결과적인 문제는 어려울 수 있지만 실제적인 관점에서 흥미로울 까요? 모르겠어요 나를 때린다. 그들은 나에게 상당히 인공적으로 보이지만, 내가 무엇을 알고 있습니까?

기본 목표가 실제로 관련성이 있고 TSP의 실제 응용 프로그램을 대표하는 문제 인스턴스를 선택하는 것이라면 전혀 다른 접근법을 제안합니다. 대신 TSP의 실제 응용 프로그램을 조사한 다음 해당 문제의 대표적인 인스턴스를 찾아 해당 TSP 문제 인스턴스로 변환하십시오. 따라서 실제 문제에서 파생 된 문제 인스턴스로 작업하고 있습니다.

솔루션의 특성을 자주 제어 할 수있는 접근 방식은 한 NP 완료 문제에서 다른 문제로 전환하는 것입니다. 이제 당신은 통계적으로 당신의 질문에 "흥미로운"을 정의하지만, 또 다른 깔끔한 접근법은 현장에서 고전적인 문제를 사용하는 것입니다. 내가 가장 좋아하는 것은 factoring / SAT입니다. 요인이 많은 "부드러운"숫자 또는 두 개의 "인자"(하나와 소수) 만있는 소수를 찾는 것은 사소한 일입니다. SAT 인스턴스를 만들어 인수 분해를 해결하면 솔루션이 요인 ​​(실제로 요인의 순열이지만 미리 계산하기 어렵지 않음)입니다.

이 접근법에서는 "재미있는 (interesting)"이라는 정의가 자연스럽게 정의되어 있는데, 이는 P 시간으로 해결할 수없는 어려운 사례입니다. 이 방법은, 그렇지 않으면 복잡성 이론, 즉에서 가장 중요한 의문 해결 할 인수가 아닌 부드러운 번호 하드 인스턴스를 생성하기 위해 보장 인수 분해의 경도를 .

그런 다음 문제 (이 경우 TSP)로 변환하십시오. 이 답변을 작성하려면 SAT에서 TSP로 직접 변환하는 것이 좋으며, 거기에 있다고 생각하지만 익숙하지는 않습니다. 그러나이 질문에서 SAT를 인수 분해하는 것에 대한 참고 자료는 다음과 같습니다 . 정수 인수 분해 문제를 NP 완료 문제로 줄입니다.

팩토링이 마음에 들지 않으면 여러 가지 이유로 먼저 SAT에서 인스턴스를 만드는 것이 좋습니다. 쉽게 전환하기 쉬운 전환 지점 등을 중심으로 조정 된 임의의 SAT 인스턴스로 시작할 수 있습니다. 또는 커뮤니티에서 생성 한 DIMACS 하드 인스턴스 에서 작업 할 수 있습니다. 또는 SAT에서 다른 논리적 "프로그램"을 작성하십시오.