컨텍스트 프리 언어를 캡처하는 정규식의 확장이 있습니까?

문맥없는 문법 (CFG)과 관련된 많은 논문에서, 그러한 문법의 예는 종종 그들이 생성하는 언어의 쉬운 특성화를 인정합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

$S \to a a S b$
$S \to$

생성 $\{ a^{2i} b^i | i \geq 0\}$ ,

$S \to a S b$
$S \to a a S b$
$S \to$

생성 $\{ a^i b^j \mid i \geq j \geq 0 \}$ 및

$S \to a S a$
$S \to b S b$
$S \to$

생성 $\{ w w^R \mid w \in (a|b)^* \}$ 또는 등가 $\{ ((a|b)^*)_1 ((a|b)^*)_2 \mid p_1 = p_2^R \}$ (여기서, $p_1$ 지칭 캡처 한 부분 $(...)_1$ ).

위의 예는 모두 인덱스 ( $a^i$ ), 이러한 인덱스에 대한 간단한 제약 조건 ( $i > j$ ) 및 정규식에 패턴 일치를 추가하여 생성 할 수 있습니다 . 이것은 정규 표현식의 일부 확장으로 모든 컨텍스트 프리 언어를 생성 할 수 있는지 궁금합니다.

문맥 자유 언어의 전부 또는 일부 중요한 부분 집합을 생성 할 수있는 정규 표현식의 확장이 있습니까?

그렇습니다. 컨텍스트가없는 표현식 을 다음 문법으로 생성 된 용어 로 정의하십시오 .

$$\begin{array}{lcll} g & ::= & \epsilon & \mbox{Empty string}\\ & | & c & \mbox{Character $c$ in alphabet $\Sigma$} \\ & | & g \cdot g & \mbox{Concatenation} \\ & | & \bot & \mbox{Failing pattern} \\ & | & g \vee g & \mbox{Disjunction}\\ & | & \mu \alpha.\; g & \mbox{Recursive grammar expression} \\ & | & \alpha & \mbox{Variable expression} \end{array}$$

이것은 일반 고정 소수점 연산자 μ α 로 대체되는 Kleene star를 제외한 일반 언어의 생성자입니다 .$\mu \alpha.\;g$$g\ast \triangleq \mu \alpha.\;\epsilon \vee g\cdot\alpha$

문맥이없는 표현의 해석은 자유 변수의 해석을 설명해야합니다. 따라서 환경 를 변수에서 언어로의 맵 (즉, 하위 집합 )으로 정의하고 제외한 모든 입력에서 와 같이 동작하는 함수로 둡니다. 대한 언어 을 반환합니다 .Σ ∗ [ ρ | α : L ] ρ α L $\rho$$\Sigma^*$$[\rho|\alpha:L]$$\rho$$\alpha$$L$$\alpha$

이제 컨텍스트없는 표현식의 해석을 다음과 같이 정의하십시오.

$$\newcommand{\interp}[2]{[\![{#1}]\!]\;{#2}} \newcommand{\setof}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\comprehend}[2]{\setof{{#1}\;\mid|\;{#2}}} \begin{array}{lcl} \interp{\epsilon}{\rho} & = & \setof{\epsilon} \\ \interp{c}{\rho} & = & \setof{c} \\ \interp{g_1\cdot g_2}{\rho} & = & \comprehend{w_1 \cdot w_2}{w_1 \in \interp{g_1}{\rho} \land w_2 \in \interp{g_2}{\rho}} \\ \interp{\bot}{\rho} & = & \emptyset \\ \interp{g_1 \vee g_2}{\rho} & = & \interp{g_1}{\rho} \cup \interp{g_2}{\rho} \\ \interp{\alpha}{\rho} & = & \rho(\alpha) \\ \interp{\mu \alpha.\; g}{\rho} & = & \bigcup_{n \in \mathbb{N}} L_n \\ \mbox{where} & & \\ L_0 & = & \emptyset \\ L_{n+1} & = & L_n \cup \interp{g}{[\rho|\alpha:L_n]} \end{array}$$

Knaster-Tarski 정리를 사용하면 의 해석 이 표현의 가 가장 는 것을 쉽게 알 수 있습니다 .$\mu \alpha.g$

문맥이없는 문법과 같은 언어를 사용하여 문맥이없는 표현을 제공 할 수 있음을 보여주는 것은 간단합니다 (전혀 사소한 것은 아니지만). 비사 소성은 컨텍스트가없는 표현식에 고정 된 고정 소수점이 있고 컨텍스트가없는 문법은 튜플에 대해 단일 고정 소수점을 제공한다는 사실에서 비롯됩니다. 이를 위해서는 Bekic의 기본 정리를 사용해야합니다. 즉, 중첩 된 고정 소수점을 제품에서 단일 고정 소수점으로 변환 할 수 있습니다 (반대의 경우도 마찬가지). 그러나 이것이 유일한 미묘합니다.

편집 : 아니오, 나는 이것에 대한 표준 참조를 모른다 : 나는 내 자신의 이익을 위해 그것을 해결했다. 그러나 이전에 발명되었다고 확신하는 것은 분명한 구조입니다. 일부 캐주얼 한 인터넷 검색은 Joost Winter, Marcello Bonsangue 및 Jan Rutten의 최근 논문 Context-Free Languages, Coalgebraically 을 통해 문맥이없는 표현이라고 부르는이 정의의 변형 (모든 고정 소수점을 보호해야 함)을 제공합니다.

생성 함수가 홀로 노믹 인 언어에 대해 MathOverflow와 밀접한 관련이있는 질문 (및 여러 답변)이있었습니다 .

흥미롭게도, 위 의 의미론에 대한 Neel의 정의 는 암시 적 종 정리를 통해 재귀 종 방정식에 대한 종 솔루션의 존재에 대한 (구성 적) 증거와 정확히 일치 합니다. 불행히도, 그의 증명 개요에는 사물이 '무한한'경우가 있기 때문에 미묘한 실수가 포함되어야합니다. 다시 말해, 문법에 의해 정의 된 변환의 야 코비안에는 단수가 아닌 조건이 필요합니다. 이것이 아마도 Bonsangue-Rutten이 Jacobian 에서이 상태를 보장하는 한 가지 방법으로 고정 점을 보호 해야하는 이유 일 것입니다.$\mu$

우리는 최근에 그렇게 할 프레임 워크의 개요를 발표했습니다. 아래 봐 뉴스 그룹 comp.compilers 좀 링크와 함께 통지를 보내.

새로운 개발은 Chomsky-Schuetzenberger 정리에서 작동하며이 결과의 완료로 간주 될 수 있습니다. Chomsky는 그 발전에 대해 알고 있으며 "잡으려고"한다는 소망을 나타냅니다.

이 개발과 함께, 우리는 문맥이없는 표현을위한 두 개의 분리 된 공식 의 동등성을 확립합니다. 2014 년에 마지막으로 공식화되었으며 2008 년에 발표되었습니다.