최소 컷을 최대화하기위한 용량 증가

모든 모서리가 단위 용량을 갖는 그래프를 고려하십시오. 다항식 시간에서 최소 컷을 찾을 수 있습니다.

용량을 늘릴 수 있다고 가정 해 봅시다. $k$가장자리를 무한대로 (가장자리 양쪽의 노드를 병합하는 것과 동일). 최적의 세트를 선택하는 최적의 방법은 무엇입니까$k$ 최소 컷을 최대화하기 위해 가장자리 (누가 용량이 무한대로 증가 할 것인가)?

정리. 게시물의 문제는 NP-hard입니다.

"포스트의 문제"라는 말은 $G=(V,E)$ 그리고 정수 $k$, 선택하다 $k$ 수정 된 그래프에서 최소 자르기를 최대화하기 위해 용량을 높이기 위해 모서리

아이디어는 Max Cut을 줄이는 것입니다. 대략, 주어진 그래프$G=(V,E)$ 최대 절단 크기가 있습니다 $s$ 용량을 늘릴 수있는 경우에만 $n-2$ 결과 그래프에 최소 자르기 크기가 있도록 모서리 $s$. 아이디어는$n-2$ 모서리는 결과 그래프에 유한 용량 컷이 하나만 있도록하기에 충분하며 원하는 컷이 될 수 있습니다.

주어진 아이디어를 얻으려면이 아이디어가 효과가 없습니다. $(C, V\setminus C)$에 의해 유도 된 하위 그래프가 필요합니다. $C$ 과 $V\setminus C$각각 연결됩니다. 그러나 적절한 가젯을 사용하여이 문제를 해결할 수 있습니다.

증명. 연결된 그래프가 주어지면$G=(V,E)$연결된 절단 을 절단 으로 정의$(C,V\setminus C)$ 그에 따라 하위 그래프가 $C$ 그리고 $V\setminus C$각각 연결되어 있습니다. Max Connected Cut 을 정의 하면 (연결된 그래프에서) 절단을 가로 지르는 모서리 수를 최대화하는 연결된 절단을 찾는 문제가됩니다.

Max Connected Cut은 게시물의 문제를 줄입니다. 그런 다음 비가 중 Max Cut이 Max Connected Cut으로 감소 함을 보여줍니다.

기본 1. Max Connected Cut은 포스트에 정의 된 문제에 대한 폴리 시간을 줄입니다.

증명. Max-Connected-Cut 인스턴스가 주어짐$G=(V,E)$, 허락하다 $k=|V|-2$. 명예를 증명하기 위해 다음을 증명합니다.

제 1 항 : 모든 들어$s>0$연결된 커트가 있습니다 $(C,V\setminus C)$ 에 $G$ 적어도 용량 $s$, IFF는 올릴 수 있습니다 $k$ 가장자리 용량 $G$ 결과 그래프가 최소한 최소 컷 용량을 갖도록 무한대로 $s$.

경우에만 : 연결된 컷이 있다고 가정 $(C,V\setminus C)$ 적어도 용량 $s$. 허락하다$T_1$ 과 $T_2$ 각각에 걸쳐있는 하위 트리 여야합니다. $C$ 과 $V\setminus C$그런 다음 가장자리의 용량을 $T_1$ 과 $T_2$. (참고$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$.) 그래프에 남은 유한 용량 컷은 $(C, V\setminus C)$최소 용량 $s$결과 그래프에는 최소한 최소 절단 용량이 있습니다. $s$.

IF : 모금이 가능하다고 가정 $k$ 가장자리 용량 $G$ 결과 그래프에 최소한 최소 컷 용량이 있도록 $s$. 에 의해 형성된 하위 그래프를 고려$k$상승 된 가장자리. 일반성을 잃지 않으면 서이 하위 그래프는 비 주기적이라고 가정하십시오. (그렇지 않으면 상승 된 모서리주기에서 한쪽 모서리를 "고정 해제"하고 대신 하위 그래프에서 연결된 두 구성 요소를 연결하는 상승되지 않은 모서리를 발생시킵니다. 결과 그래프에서 최소 컷만 증가시킵니다.)$k=n-2$상승 모서리의 하위 그래프에는 두 개의 연결된 구성 요소가 있습니다. $C$ 과 $V\setminus C$결과 그래프에서 유일한 유한 용량 컷은 $(C,V\setminus C)$. 그리고이 컷은 최소한 용량이 있습니다$s$원래 그래프에서와 같이

이것은 주장과 주장을 증명합니다. (QED)

완전성을 위해 비가 중 Max Cut을 줄임으로써 Max Connected Cut이 NP-complete임을 알 수 있습니다.

Lemma 2. Unweighted Max Cut은 폴리 시간을 Max Connected Cut으로 줄 입니다.

증명. 모든 정수$N\ge 1$그래프를 정의 $P(N)$ 두 경로로 구성 $A$ 과 $B$길이마다 $N$각 정점의 모서리가 $A$ 각 정점에 $B$. 우리는 최대 컷 인을 확인하기 위해 독자에게 연습으로 남겨 둡니다.$P(N)$ ($A$ 한쪽에 $B$ 다른) 크기가 $N^2$다른 컷의 크기가 $N^2-N/100$.

여기 축소가 있습니다. 비가 중 Max Cut 인스턴스가 주어짐$G=(V,E)$그래프를 구성 $G'=(V',E')$다음과 같이. 허락하다$n=|V|$. 허락하다$N = 100(n^2 + 2n)$. 추가$G$ 그래프 $P(N)$ 위에서 정의한 두 경로 $A$ 과 $B$). 각 정점에서$v\in V$ 한 꼭지점에 가장자리를 추가 $A$ 그리고 한 정점에 또 다른 가장자리 $B$. 이것은 감소를 정의합니다. 마치기 위해, 우리는 그것이 옳다는 것을 증명합니다 :

청구항 2 : 어떤을 위해$s\ge 0$컷이있다 $(C,V\setminus C)$ 에 $G$ 적어도 용량 $s$, IFF에 연결된 컷이 있습니다 $G'$ 최소한 크기 $s+N^2+n$.

경우에만 : 어떤 컷이 주어지면 $(C,V\setminus C)$ 에 $G$ 적어도 용량 $s$연결된 컷을 고려하십시오. $(A\cup C, B\cup V\setminus C)$ 에 $G'$. 이 연결 컷$G'$ 최소한 컷 $s$ 가장자리 $C$ 에 $V\setminus C$, 플러스 $N^2$ 가장자리 $A$ 에 $B$, 플러스 $n$ 의 $2n$ 가장자리 $V$ 에 $A\cup B$.

IF : 연결된 컷이 있다고 가정 $G'$ 최소한 크기 $s+N^2+n$. $A$ 과 $B$컷의 반대편에 있습니다. (그렇지 않으면 두 번째로 큰 컷 인 이후$P(N)$ 최대 인하 $N^2-N/100$ 가장자리 $P(N)$, 절단 된 총 모서리 수는 최대 $N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$.) 허락하다 $C$ 꼭짓점을 나타내 다 $V$ 컷의 측면에 $A$. 그런 다음$N^2$ 컷의 가장자리 $A$ 에 $B$, $n$ ...에서 $V$ 에 $A\cup B$따라서 적어도 $s$ ...에서 $C$ 에 $V\setminus C$.

이것은 주장과 Lemma 2를 증명합니다. (QED)

Lemmas 1과 2에서 비가 중 Max Cut은 NP-hard이므로 포스트의 문제는 NP-hard입니다.