Las Vegas 알고리즘을 사용하는 가장 빠른 BPP 시뮬레이션은 무엇입니까?

$\mathsf{BPP}$ 및 $\mathsf{ZPP}$ 는 기본적인 확률 적 복잡성 클래스 중 두 가지입니다.

$\mathsf{BPP}$ 는 오답 다항식 시간 튜링 알고리즘에 의해 결정된 언어의 클래스로, 오답이 반환되는 알고리즘의 확률이 제한됩니다. 즉, 오류 확률은 최대 $\frac{1}{3}$ (YES 및 NO 인스턴스 모두).

반면에 $\mathsf{ZPP}$ 알고리즘은 답을 반환 할 때마다 정답을 반환하지 않는 확률 적 알고리즘으로 볼 수 있습니다. 그러나 실행 시간은 다항식에 의해 제한되지 않으며 예상 다항식으로 실행됩니다.

하자 $\mathsf{ZPTime}(f)$ 제로 에러 확률 확률 알고리즘에 의해 결정된 언어의 클래스 수를 실행 시간이 예상 $f$ . 이것은 Las Vegas 알고리즘 및 $\mathsf{ZPP} = \mathsf{ZPTime}(n^{O(1)})$ 합니다.

내 질문은 Las Vegas 알고리즘을 사용하여 $\mathsf{BPP}$ 알고리즘의 시뮬레이션을 가장 잘 아는 것이 무엇 입니까? 지수가 아닌 예상 시간으로 시뮬레이션 할 수 있습니까? 사소한 무차별 대입 시뮬레이션에 비해 기하 급수적으로 시간이 걸리는 알려진 개선이 있습니까?

더 공식적으로, 경우에 우리가 알고 $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{O(n^{\epsilon})})$ 또는 $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{n-n^{\epsilon}})$ 일부 $\epsilon>0$ ?

— 에 추리
소스

입력 길이 n은 무엇입니까? 왜 우리는에 받아 들일 수

2^{n}

$2^n$ ?

— domotorp

2^{p o l y (n) - n^{ϵ}}

$2^{\mathrm{poly}(n)-n^\epsilon}$ 동일한 일

2^{p o l y (n)}

$2^{\mathrm{poly}(n)}$ .

— Emil Jeřábek

나는 그 질문이 매우 흥미 롭다는 것을 안다. 더 읽기 쉽고 정확하게하기 위해 질문을 편집했습니다. 추가로 자유롭게 편집하십시오. 추신 : BPP 알고리즘이 시뮬레이션 시간에 대한 매개 변수로 사용하는 다항식으로 많은 임의의 비트를 고려하고 싶지만 Emil이 지적한대로

제공한다고 생각합니다 . BPP를 알고리즘에 사용되는 임의의 비트 수에 대한 매개 변수가있는 특정 범위의 경계 오류 확률 알고리즘으로 대체해야하는 경우.

2^{p o l y (n)}

$2^{poly(n)}$

— Kaveh

우리가 사용하는이 BPP 알고리즘을 시뮬레이션 할 수있는 경우가 요청할 수

에서 랜덤 비트

의 무차별 시뮬레이션 실행되므로

시간.

r (n)

$r(n)$

Z P T i m e (2^{r (n) - n^{ϵ}} n^{O (1)})

$\mathsf{ZPTime}(2^{r(n)-n^\epsilon}n^{O(1)})$

2^{r (n)} n^{O (1)}

$2^{r(n)}n^{O(1)}$

— Kaveh

답변:

먼저 일정한 상수 대해 이면 것을 관찰하십시오 . (비결정론 적 시간 계층 구조에 의한 증거) 따라서 그러한 포함을 증명하는 것은 시뮬레이션이 향상되었을뿐만 아니라 수십 년 안에 무작위 시간 하한선에서 첫 번째 진전을 이룰 수 있다는 점에서 중요 할 것입니다. $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{c}}]$ $c$ $\mathsf{BPP} \neq \mathsf{NEXP}$

다음으로, $\mathsf{PromiseBPP}$ 클래스를 고려하십시오 . 다음 문제점은 " hard"입니다. $\mathsf{PromiseBPP}$

순회 근사 확률 문제 (CAPP) 회로 주어 , 출력의 수용 가능성 이내 첨가제 인자. $C$ $C$ $1/6$

Impagliazzo, Kabanets 및 Wigderson 2002의 결과는 CAPP에 대한 시간 제로 오류 알고리즘 (여기서 은 크기 임 )은 의미 함을 나타 냅니다. $2^{n^{\varepsilon}}$ $n$ $C$ 합니다. STOC'10에서 나는 이것을 보여주기 위해 이것을 확장했다 : 입력 비트와 크기를가진모든 대해 가정하면, 0 오류가 충분하지 않음)로 CAPP를 계산할 수 있습니다 $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $C$ $k$ $n$ 시간, . 즉, 양측 오차 랜덤 성으로 계산할 수있는 문제가 확실히 있으며, 철저한 검색을 약간 능가하는 제로 오류 알고리즘은 회로 하한을 의미합니다. 나는 이것이 하한을 증명하는 가능한 방법으로 해석되어야한다고 믿는다. 귀하의 마일리지가 다를 수 있습니다. $2^{k-\omega(\log k)}\mathrm{poly}(n)$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

심지어 증명이 알 또한 개방하고 입증 하는 것이 Kabanets 및 Impagliazzo 2004 다항식 확인 시험 (a 경우 :도 하한을 함축 문제) 인 에서 모든 , 우리는 영구적이거나 하나에 대한 하한이 $\mathsf{RP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{NEXP}$ . 최근 (STOC'13에서 예정), 나는 무조건 또는 에 크기 회로 가 있다는 것을 무조건 입증했다 . 카바 네츠의 "간단한 증거"방법을 기반으로합니다. 이것은 두 가지를 의미합니다. $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^{\varepsilon}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$ $n^c$

있다 모두되도록 , 에서 무조건이다 - 이것은 최고의 무조건 derandomization 관한 에서 지금까지 알고있는 $c$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{RP}$ $\mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^c$ $\mathsf{RP/BPP}$ $\mathsf{ZPP}$
흥미로운 subexponential 시뮬레이션을 얻기 시작하려면 , 당신은 "전용"가정이 하지 않습니다 고정 다항식 크기의 회로를 가지고있다. $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$

— 라이언 윌리엄스
소스

답변을 읽을 수 있도록 시간을 내 주셔서 감사합니다.)

— Ryan Williams

라이언, 난에 대한 아주 바보 같은 질문을 물어라고 생각하지만, 여기에 간다 : 첫 번째 문장에서, 왜 당신이 필요 "모든

"? 일부 c 고정에 대한 ZPTIME (2 ^ (n ^ c))의 BPP 서브 세트가 RTIME (2 ^ (n ^ c)) 및 따라서 NTIME (2 ^ (n ^ c))의 BPP 서브 세트를 암시하므로 BPP는 NEXP와 같지 않거나 NTIME (2 ^ (2n ^ c))이 NTIME (2 ^ (n ^ c))의 하위 집합입니까?

ϵ

$\epsilon$

— Sasho Nikolov

전혀 바보가 아닙니다. 실제로 일부

대한

는

충분 합니다. 그러나 다른 결과에는 서브 지수 시간 알고리즘이 필요합니다.

B P P \subseteq N T I M E (2^{n^{c}})

$BPP \subseteq NTIME(2^{n^c})$

c

$c$

B P P \neq N E X P

$BPP \neq NEXP$

— Ryan Williams

Ryan : 논문을 이해하고 싶다면 회로 복잡성에 관한 어떤 책 / 종이에 익숙해 지도록 권장하십니까?

— T ....

운 좋게 Bill Gasarch는이 질문을 잠시 후에 물었고, 다음 링크의 웹 페이지를 작성했습니다. cs.umd.edu/~gasarch/ryan/ryan.html

— Ryan Williams

어떤 가정을 기꺼이 하느냐에 달려 있습니다.

특정 경도 가정, 즉 에서는 입니다. 이것은 특히 $E \not\subseteq SIZE(2^{\varepsilon n})$ $P = BPP$ 이므로 모든 언어 가 Las Vegas 기계에 의해 수용됨을 의미합니다 (E는 서브 지수 회로가없는 경우 : "P = BPP : Impagliazzo의 XOR Lemma Derandomizing XOR Lemma"참조) 및 Wigderson). $BPP = ZPP$ $L \in BPP$

또한, 즉 온화한 경도 가정 할 수있는 , 그 얻을 (AN의 검색 "의 명제 46 참조 쉬운 증거 : 지수 적 시간 대 확률 론적 다항식 시간 "(Impagliazzo, Kabanets and Wigderson). $ZPE \not\subseteq \rm{io-DTIME}(2^{\varepsilon n})$ $BPP = ZPP$

— 또는 Meir
소스

무작위 화의 진보를 제외하고는 Las Vegas Machine이 실수를하지 않아야한다는 요구 사항이 중요하기 때문에이 경우 무작위성이 거의 없거나 전혀없는 것처럼 보입니다.

A에 대한 BPP의 언어 적절한 알고리즘에 의해 결정 입력에 작용하는, 랜덤 문자열 의 임의의 선택을 나타내는 제로 에러 기준을 의미 라스 베이거스 기계는 두 경우 중 $L$ $A$ $x \in \{0,1\}^n$ $r \in \{0,1\}^{N(n)}$ 보유. 에대한 추가 정보가 없다면, 이것은 본질적으로 oracle promise 문제입니다 : oracle컴퓨팅그리고가 하나의 출력얻을것이라는 약속이 주어지면반대 출력보다 최소 두 배 많은 입력에 대해은어떤 출력이 더 일반적인지 결정합니다.

\underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩾ \frac{2}{3} or \underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩽ \frac{1}{3}

$\Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \geqslant \tfrac{2}{3} \quad\text{or}\quad \Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \leqslant \tfrac{1}{3}$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} (r) = A (x, r)

$A'(r) = A(x,r)$

A^{'}

$A'$

a \in {0, 1}

$a \in \{0,1\}$

1 - a

$1-a$

Las Vegas Machine은 임의의 기술을 사용할 수 있지만 실제로 를 오라클로 취급 해야하는 경우 Las Vegas Machine에 사용할 수있는 유일한 전략은 상대적으로 철저한 (철저하지는 않지만) 설문 조사를 수행하는 것입니다 임의의 문자열 은 각각에 대해 어떤 대답이 제공되는지 확인합니다. 이상을 찾은 경우에만 확신 할 수 있습니다 $A'$ $r$ 개의 서로 다른 줄 은 모두 같은 출력을 낳는다. 그렇지 않으면, 작은 (그러나 0이 아닌!) 확률로, 운이 좋지 않을 수 있으며 가능한 출력의 비 대표 샘플을 얻을 수 있습니다. 제로 에러를 얻기 위해서, 적어도 샘플링해야 $2^{N(n)}\!/3$ $r$ $2^{N(n)}\!/3$ 입력 . $r$

Las Vegas 머신은 가능한 모든 임의의 문자열 의 적어도 일정한 비율을 검사해야하므로 모든 가능한 임의의 문자열을 결정적으로 테스트하는 것보다 더 나은 방법은 없습니다 . 우리는 무차별 설정을 통해 무차별 적으로 수행 할 수있는 것 이상으로 제로 오류 설정에서 무작위로 BPP 알고리즘 을 시뮬레이션 할 때 점근 적으로 이점을 얻지 못합니다 . $r$

이 같은 주장은 BPP 와 ZPP 사이에 오라클 분리를 일으킨다 . 즉 ZPP 알고리즘이 지수 시간을 걸리기 때문에 와 같은 오라클 가있다. $A$

{Z P P}^{A} ⫋ {B P P}^{A}

$\mathsf{ZPP}^A \subsetneqq \mathsf{BPP}^A$ BPP의 알고리즘에 대한 문제를 해결 단일 쿼리의 오라클과 경계 오류로 성공합니다. 그러나 이미 의심했던 것 이상 (시뮬레이션 오버 헤드가 다항식보다 나쁠 수 있음)이나 무증상이 순진한 결정 론적 시뮬레이션만큼 나쁘다는 것을 알려주지는 않습니다.

— 닐 드 보드 랩
소스

내가 틀렸다면 나를 바로 잡으십시오 : 당신은 왜 무작위 화가 불가능 해 보이는지 직관적 인 추론을하고 있지만, 우리는 합리적인 가정 하에서 BPP, ZPP, P가 모두 같은 것을 알고 있습니다. 직관이 반드시 좋은 것은 아닙니다

— Sasho Nikolov

전혀. Derandomization 아마도 시뮬레이션하는 방법에 대한 통찰력이 될 것입니다 BPP를 하여 P 이없는 것? 나는 알고리즘 자체의 구조를 이용하지 않는 무조건적인 결과를 원한다면 어떻게 제로 에러 랜덤 화 된 결정 론적 시뮬레이션을 수행 할 수 있는지 설명하고 있습니다. 아니면이 설명에 문제가 있습니까?

— Niel de Beaudrap

나는 당신이 ZPP에 의한 BPP의 순진한 무력 시뮬레이션이 P에 의한 BPP의 순진한 무력 시뮬레이션보다 빠르지 않다고 생각하지만, 그것이 무엇을 보여줄지 알 수 없습니다. 나에게 이것은 '최대 매칭을 찾는 가장 빠른 알고리즘은 무엇입니까?'라는 질문을하고 '글쎄, 매칭의 구조에 대한 통찰력에 실패하면 기하 급수적 인 시간'입니다. 문제는 효율적인 ZPP 시뮬레이션을 가능하게하는 BPP 구조에 대한 통찰력이 있는지 를 묻는 것입니다

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov : 그것은 실제로 깊은 통찰력을 의미하지 않았습니다. 질문의 말에서 CS.SE로 마이그레이션하기위한 경계선 인 것처럼 보였습니다. 나는 지혜로, 말 그대로 그것을 대답하기로 결정 : 우리가 아는 한 , 언어 L∈BPP을 받아 라스 베이거스 기계를 가장 효율적으로 예상 실행 시간이 훨씬 더 가능성이 무차별를 탐구 결정적 기계 이상이다. 그것은 말할 답변 할 수 있을 일부 몇 가지 조건이 유지 우수하고 유익한 경우 상한 다항식, 나는 그것을 위해 그들을 투표; 그러나 나는 실제 질문에 답한다.

— Niel de Beaudrap

나는 이것이 좋은 대답이라고 생각합니다 (편집 후 더 읽기 쉽습니다). "P = ZPP는 P = BPP를 의미합니다"또는 "ZPP = BPP는 P = BPP를 의미합니다"와 같은 조건부 결과가 없으므로 결정적 알고리즘보다 ZP 알고리즘으로 BPP를 더 빠르게 시뮬레이션 할 수 있습니다. 그러나 상대화 결과는 이것이 어떤 상대화 시뮬레이션으로도 일어날 수 없다는 것을 암시하는 것 같습니다. 올바르게 이해합니까?

— Kaveh