제한된 모노톤 3CNF 공식 : 만족스러운 할당 계산 (모듈로 및 모듈로 )

다음과 같은 추가 제한이있는 Monotone 3CNF 공식을 고려하십시오.

• 모든 변수는 정확히 절로 나타납니다 .$2$
• 절이 주어지면 최대 변수를 공유 합니다.$2$$1$

그러한 공식의 만족스러운 과제를 계산하는 것이 얼마나 어려운지 알고 싶습니다.

업데이트 06/04/2013 12:55

또한 만족스러운 과제 수의 패리티를 결정하는 것이 얼마나 어려운지 알고 싶습니다.

2013 년 11 월 4 일 업데이트 22:40

위에서 설명한 제한 사항 외에도 다음과 같은 제한 사항을 모두 소개합니다.

• 수식은 평면입니다.
• 공식은 이분입니다.

2013 년 4 월 16 일 23:00 업데이트

각각의 만족스러운 할당은 정규 그래프 의 모서리 덮개에 해당합니다 . 광범위한 검색을 거친 후, 내가 엄선한 표지를 찾을 수있는 유일한 관련 논문은 Yuval의 답변에서 이미 언급 한 세 번째 논문입니다. 이러한 논문의 시작 부분에서 저자는 " 그래프의 모든 모서리 덮개에 대한 샘플링 (및 관련 계수 계산) 연구를 시작 합니다 " 라고 말합니다 . 이 문제가 거의 주목받지 못했다는 사실에 매우 놀랐습니다 (몇 가지 그래프 클래스에 대해 널리 연구되고 훨씬 잘 이해되는 정점 표지를 계산하는 것과 비교). 에지 커버를 세는 것이 -hard 인지는 알 수 없습니다 . 에지 커버 수의 패리티 결정이 인지 여부를 알 수 없음$3$$\#P$$\oplus P$딱딱하다.

업데이트 09/06/2013 07:38

에지 커버 수의 패리티를 결정하는 것은 -hard입니다. 아래 답변을 확인하십시오.$\oplus P$

어느 그래프에서나, 정점 커버 수의 패리티는 에지 커버 수의 패리티와 동일하다.

이유를 확인하려면 이 답변을 확인 하고는 의 패리티와 같으며, 이는 의 패리티와 같습니다 가장자리 덮개 수입니다.$|C|$$\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$$O_{|V|} + E_{|V|}$

버텍스 커버 수의 패리티 계산은 P-hard입니다. 따라서 에지 커버 수의 패리티 계산은 P-hard입니다.$\oplus$$\oplus$

적어도 질문의 후반이 해결되었습니다.

당신의 문제는 아마 # P- 완료이지만, 문헌에서 찾을 수는 없었습니다.

문제를 나타내는 또 다른 방법은 "# 3-regular-edge-cover"입니다. 수식이 주어지면 각 절이 꼭짓점에 해당하고 각 변수가 모서리에 해당하는 그래프를 구성하십시오. 공식은 3CNF이므로 그래프는 3 규칙적입니다 (또는 정의에 따라 최대 차수가 3입니다). 또한 그래프는 간단합니다. 만족스러운 할당은 가장자리 덮개와 동일합니다.

다음은 몇 가지 관련 문제입니다.

• # 1-Ex3MonoSat은 # P- 완료 입니다. 이것은 문제와 동일하지만 만족스러운 솔루션 만 각 절에서 정확히 하나의 변수를 만족해야합니다.
• 3 정규 평면 그래프에서 정점 커버 수를 세는 것은 # P- 완료 입니다.
• # 3 레귤러 에지 커버 용 FPRAS 가 있습니다 . 이것은 저자들이 문제가 어렵다고 믿는다는 것을 암시합니다.