간격 및 쿼리 수 0에 대한 업데이트를위한 데이터 구조

크기 의 정수 테이블 를 유지하고 시간 에서 다음 작업을 허용 하는 데이터 구조를 찾고 있습니다. $t$ $n$ $O(\log n)$

$\text{increase}(a,b)$ 는 시킵니다. $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
$\text{decrease}(a,b)$ 는 입니다. $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
$\text{support}()$ , 되도록 인덱스 수 를 반환합니다 . $i$ $t[i]\neq 0$

동일한 매개 변수 로 감소시키기 위해 모든 감소 호출을 이전 호출과 일치시킬 수 있습니다 . 내가 생각하는 응용 프로그램은 주어진 직선 사각형의 n의 합집합 영역을 시간 로 계산하는 스윕 라인 알고리즘 입니다. $a,b$ $O(n\log n)$

쿼드 트리의 크기는 이므로 솔루션이 아닙니다. Fenwick 또는 Interval 나무는 올바른 맛을 가지고 있지만 위의 작업을 지원하기 위해 나무를 확장하는 방법을 알지 못합니다. $\Theta(n^2)$

ds.data-structures cg.comp-geom

— 크리스토프 뒤르
소스

Fenwick 트리는 "감소하기위한 모든 호출이 동일한 매개 변수 a, b로 증가하기 위해 이전 호출과 일치 할 수 있습니다"라는 약속을 사용하지 않으므로 해당 약속을 사용하는 더 간단한 해결책이있을 수 있습니다 (그러나 현재는 나에게서 벗어날 수 있습니다).

— 제레미

입력의 수는 최대 (반복을 감지하고 데이터 구조에 삽입 할 수 없음)이므로 공통 측정 값 트리 데이터 구조를 사용하여 성능을 얻을 수 있습니다. cosy.sbg.ac.at/~ksafdar/data/courses/SeminarADS/… 슬라이드 47-52를 참조하십시오 .

n^{2}

$n^2$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Chao Xu

제레미와 차오 수 귀하의 의견에 감사드립니다. 인터벌 트리를 사용하여 변화하는 간격 세트의 전체 길이를 유지하는 방법을 이해합니다. 이것은 실제로 매우 귀여운 데이터 구조입니다.

— Christoph Dürr

일반적인 데이터 구조 문제의 경우,

시간에서 검색하려면 공간

여기서

는 활성 좌표 쌍 목록의 크기입니다. 그러나 실제로 스위프 라인 알고리즘

\log (n^{2}) \in O (\log (n))

$\log(n^2)\in O(\log(n))$

O (p) \subset O (n^{2})

$O(p)\subset O(n^2)$

p

$p$

경우 공간은 선형으로 유지됩니다. 문제는 여전히보다 공간 데이터 구조에 대한 개방

때,

p \in O (n)

$p\in O(n)$

O (p)

$O(p)$

p \in ω (n)

$p\in\omega(n)$

— Jeremy

spoj.com/OI/problems/NKMARS

— Erel Segal-Halevi

답변:

범위의 재귀 파티션 인 더 작은 범위로 세그먼트 트리를 사용하십시오 . 업데이트 작업의 각 간격 은이 재귀 파티션에서 범위의 로 분할 될 수 있습니다 . 각 범위 저장에 대해 : $[1,n]$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $[x,y]$

숫자 의 간격 증가되지 않은되도록 감소 $c(x,y)$ $[a,b]$ 가 가 분할되는 범위 중 하나 $[x,y]$ $[a,b]$
숫자 $u(x,y)$ 재귀 에서 이하의 분할 된 부분 집합으로 덮여 있지 않은 셀 $[x,y]$

경우 로 재귀 분할 및 우리가 $[x,y]$ $[x,z]$ $[z+1,w]$

u (x, y) = {\begin{cases} 0 & if c (x, y) > 0 \\ u (x, z) + u (z + 1, y) & otherwise \end{cases}

$u(x,y)=\begin{cases} 0&\text{if }c(x,y)>0\\ u(x,z)+u(z+1,y)&\text{otherwise} \end{cases}$ 따라서 범위의 다른 데이터가 변경 될 때 일정한 시간에 각

값을 업데이트 할 수 있습니다 . 각 지원 쿼리는

를보고 응답 할 수 있습니다 .

u (x, y)

$u(x,y)$

u (1, n)

$u(1,n)$

증가 연산 을 수행하려면 를 범위 로 분할 이러한 각 범위에 대해 를 증가 시키고 위 공식을 사용하여 를 다시 계산하십시오. $(a,b)$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $c(x,y)$ $u(x,y)$

— 데이비드 엡스타인
소스

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

u (x, y) = 0

$u(x,y) = 0$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

예를 들어 주시겠습니까?

— jbapple

구간이 숫자 [1,8]이라고 가정하십시오. 재귀 적으로 [1,4], [4,8], [1,2], [3,4], [5,6] 및 [7,8]로 나뉘고 모든 한 요소 범위입니다. 처음에는 모든 것이 발견되고, 모든 c [x, y] = 0이며, 각 범위는 길이가 u =입니다. 그러나 증가 [2,6] 연산을 수행한다고 가정합니다. [2,6]을 분해 할 수있는 O (log n) 최대 범위는 [2,2], [3,4] 및 [5,6]이므로이 세 가지에 대해 c [x, y]를 설정합니다. 내 대답의 수식에 따르면이 세 범위의 u [x, y]도 0이됩니다. u [1,2]는 1이되고 u [1,4]는 1이됩니다. 5,8] = 2, u [1,8] = 1 + 2 = 3

— David Eppstein

$\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $\text{support}$ $O(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n})$ $a$ $b$ $\omega(\log n)$

— jbapple
소스

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\log n)

$O(\log{n})$