직교 닫힌 범주에서 화살표와 지수 객체의 차이점은 무엇입니까?

(A)에 직교 폐쇄 카테고리 ( CCC ), 이른바 존재 지수 오브젝트 작성 . CCC가 단순 유형 -calculus 의 모델로 간주되는 경우 와 같은 지수 객체 는 유형 에서 유형 함수 공간을 특성화합니다 . 지수 객체는 화살표로 소개되고 화살표로 제거 (불행히도 라는 $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ 범주 이론에 대한 대부분의 텍스트에서). 내 질문은 여기에 있습니다 : 지수 객체 $C^B$ 와 화살표 사이에 차이점이 $B \rightarrow C$ 있습니까?

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— 일
소스

A의 범주 그것은이다 지수 개체 만에 유형 이론 이 호출 할 수있는 지수 형 .

— Andrej Bauer

이것은 연구 수준의 질문이 아닙니다. CSS 교환으로 이동?

— Andrea Asperti

하나는 내부 이고 다른 하나는 외부 입니다.

범주 는 객체와 형태로 구성됩니다. 라고 쓸 때 는 객체 에서 객체 까지의 형태 라는 의미입니다 . 우리는 에서 까지 모든 형태를 "hom-set"이라고 하는 일련의 형태로 로 수집 할 수 있습니다 . 이 세트는 하지 의 목적 , 오히려 집합의 분류의 목적. $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

반대로 지수 는 의 객체입니다 . " 가 그 혼돈을 생각하는 방식"입니다. 따라서 는 의 객체가 가진 모든 구조를 갖추어야합니다. $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

예를 들어, 토폴로지 공간의 범주를 고려하십시오. 그러면 는 에서 로의 연속 맵 이고 는 이러한 모든 연속 맵 세트입니다. 그러나 는 존재하는 경우 토폴로지 공간입니다! 의 점이 에서 까지의 연속 맵 임을 증명할 수 있습니다 . 사실, 이것은 일반적으로 보유 다음 morphisms ( "의 글로벌 점이다 morphisms의 전단 사와 대응되어") 때문에 $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ $B^A$ $A \to B$

H 영형 엠 (1, 비^{에이}) ≅ H 영형 엠 (1 \times 에이, 비) ≅ H 영형 엠 (에이, 비) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

때때로 우리는 와 반대로 를 쓰는 것에 대해 부주의하게 됩니다. 사실,이 두 가지는 동의어이며, 는 "오, 여기서 나는 다른 표기법을 의미 했으므로 는 에서 까지 형태 " 를 의미 합니다. 예를 들어, 형태를 라고 적었을 때 실제로 작성해야합니다 그래서 우리는 여기서 혼란스러워하는 사람을 탓할 수 없습니다. 내부는 내부 의미로 사용하고, 외부에서 외부된다. $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

카레 : (에이 \times 비 \to 기음) \to (에이 \to {기음}^{비})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

카레 : {기음}^{에이 \times 비} \to {({기음}^{비})}^{에이} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

우리가 단순히 -calculus를 입력 하면 모든 것이 내부에 있습니다. 우리는 기본 타이핑 판단 " has type "를 가지고 로 작성되었습니다 . 여기서 는 유형이고 유형은 객체에 해당 하므로 내부 의미 에서 지수와 화살표를 명확하게 삽입해야합니다 . 따라서 lamitda -calculus 의 입력 판단으로 를 이해하면 모든 화살표가 내부이므로 와 동일 사람들이 왜 사용하는지 분명해지기를 바랍니다 $\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

카레 : (에이 \times 비 \to 기음) \to (에이 \to {기음}^{비})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$

카레 : (({기음}^{비})^{에이})^{{기음}^{에이 \times 비}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$ 와 는 동의어입니다.

A \to B

$A \to B$

— 안드레이 바우어
소스

수수께끼를 완전히 풀어주는 위대한 대답에 감사드립니다.

— 일

과연! 좋은 설명!

— Uday Reddy

내부와 외부는 어느 것입니까?

— CMCDragonkai