복잡성 1 교체 SMT

수식 또는 수식 여기서 는 다음 형식의 공식입니다. 여기서 에서 일정한 , 및 변수의 도메인 도 . $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ $\phi$

ϕ : = ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ : = 티 > 티 | 티 = 티

$\psi := t>t~| ~t=t$

티 : = 티 + 티 | {엑스}_{나는} | {와이}_{나는} | 씨

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$

c

$c$

N

$\mathbb{N}$

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$

N

$\mathbb{N}$

실제로 $y_i$ 는 $0$ 또는 $1$ 입니다. 복잡성을 단순화합니까?

참조가있는 모든 답변은 기꺼이 받아 들여질 것입니다.

감사

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— wece
소스

phi가 부울 인 경우 SAT 솔버를 오라클로 사용하여 비 결정적 튜링 머신으로 문제를 해결할 수 있기 때문에 두 번째 다항식 계층 구조에 있습니다. 여기서 같은 추론이 작동하지 않습니까?

— Mikolas

이 질문에 언급 된 바와 같이, 그것은 Hilberts 10 번째 문제 en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

— Magnus Find

@MagnusFind 감사합니다. 맞습니다. 그러나 실제로 나는 곱셈을 가지고 있지 않습니다 (편집, 죄송합니다).

— wece

두 번째 수준의 는 또는 를 의미 합니까? 다항식 계층 구조에 익숙하지 않은 것은 죄송합니다.

Π_{2}

$\Pi_2$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

— wece

정량화 된 것 이외의 다른 자유 변수가 있습니까? 그렇다면 그 점을 분명히해야합니다. Btw, 쉬운 관측은 정량화 된 변수를 과 하더라도 다항식 계층의 세 번째 수준에서는 적어도 어렵다는 것 같습니다 .

0

$0$

1

$1$

— Kaveh

답변:

한정된 양자화 기 변경을 갖는 Presburger Arithmetic의 진실에 대한 질문은 Reddy와 Loveland에 의해 상당히 정확하게 대답되었습니다.

CR Reddy & DW Loveland : 한정 수량 자 대체를 사용한 Presburger 산술 .

종이는 여기 에서 찾을 수 있습니다 (추악한 링크에 대해 죄송합니다). 주요 결과는 다음과 같습니다.

길이 (여기서 은 수량 자 교번 수 의 멤버 자격은 공간 및 (결정적) 시간 에서 결정될 수 있습니다. 여기서 와 는 상수입니다. $\mathrm{PA}(m)$ $m$ $n$
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ $d$ $e$

취하면 , 이것은 적어도 당신이 원하는 것에 상한을주는 것으로 보입니다. $m=2$

— 코디
소스

Presburger 산술에서의 단일 교대는 지수 하한을 얻기에 충분하며, 이고 고정 된 충분하지 않은 문제와 같은 공식입니다 ( Grädel 1989 ). $m=1$ $n$

— 실뱅
소스

나는 정량화 된 조각에 대한 참조를 모르지만 문제는 단위 계수가 있기 때문에 Presburger 산술의 잘 연구 된 조각을 결정 하는 것과 다릅니다 .

Pratt의 아래 논문은 구속 조건이 형식 인 경우를 연구합니다. $x + c < y$ , 어디 $x$ 과 $y$ 변수이며 $c$ 자연수로. 그는 이러한 제약 조건의 결합이 그래프 알고리즘을 사용하여 효율적으로 수행 될 수 있는지 결정하는 문제를 보여줍니다.

조합이 어려운 두 가지 쉬운 이론. 프랫, 1977.

이 조각은 차이 논리라고도하며 잠시 동안 분리 논리라고 불렀습니다. $x$ 과 $y$ 상수로 구분됩니다). 다음 백서는 문제가없는 정량화 문제를 해결하는 실질적인 관점을 제공합니다.

SAT 및 증분 음수 사이클 제거에 의한 분리 논리 공식 결정. 차오 왕, Franjo Ivančić, Malay Ganai, Aarti Gupta, 2005.

현재 귀하의 질문은 계수 만 허용합니다 $0$ 과 $1$ . 당신도 허용한다면 $-1$ 계수로, 당신이 얻는 제약의 결합은 프로그램 분석 문헌에서 팔각형 이라고 합니다. 구속 조건의 결합 및 분리는 단위 2 불평등 당 불평등 (UTVPI) 의 논리를 구성합니다 . 다음 논문의 소개는 정량화가없는 UTVPI 제약 조건의 결합 만족도를 결정하기위한 알고리즘을 조사합니다.

UTVPI 제약 조건에 대한 효율적인 결정 절차. Shuvendu K. Lahiri와 Madanlal Musuvathi, 2005.

우리는 여전히 매우 제한적인 파편에 있습니다. 연결의 확장 $n$ 단위 계수가있는 변수 선형 불평등을 8 면체 라고합니다 . 그것은 수학 프로그래밍 및 최적화 문헌에서 연구되었을 것으로 예상되는 자연스러운 확장이지만, 그 문헌 자체는 알지 못합니다. 아래의 논문은 $\mathcal{O}(3^n)$ 그러한 제약의 만족도를 결정하는 절차. 우리는 여전히 정량화 프리 프래그먼트에 있습니다.

8 면체 추상 영역. Robert Clarisó와 Jordi Cortadella, 2004.

한정 수량 자 교체 사례의 경우 Reddy 및 Loveland보다 나은 결과를 알지 못하지만 전문가가 올바른 방향으로 안내 할 수 있습니다.

— 비제이 D
소스