이론적 인 컴퓨터 과학의 주요 미해결 문제?

Wikipedia에는 "컴퓨터 과학의 미해결 문제" 아래에 두 가지 문제 만 나열 되어 있습니다 .

• P = NP?
• 단방향 기능의 존재

이 목록에 추가해야 할 다른 주요 문제는 무엇입니까?

규칙 :

1. 답변 당 하나의 문제 만
2. 간단한 설명 및 관련 링크 제공

연산 에서 을 행렬로 곱할 수 있습니까 ?n O ( n 2$n$$n$$O(n^2)$

가장 잘 알려진 상한의 지수에는 특수 기호 인 있습니다. 현재 는 Coppersmith-Winograd 알고리즘에 의해 약 2.376 입니다. 최신 기술에 대한 좋은 개요 는 Sara Robinson, Matrix Multiplication을위한 최적의 알고리즘을 향한 SIAM News, 38 (9), 2005입니다.$\omega$$\omega$

업데이트 : Andrew Stothers (2010 논문에서 )는 이며 Virginia Vassilevska Williams (2014 년 7 월 사전 인쇄 )에서 . 이러한 경계는 기본 Coppersmith-Winograd 기술을 면밀히 분석하여 얻은 것입니다.ω < $\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

추가 업데이트 (2014 년 1 월 30 일) : François Le Gall은 ISSAC 2014 ( arXiv preprint )에 게재 된 논문에서 임을 입증했습니다 .$\omega < 2.3728639$

P에서 그래프 동형이?

GI (Graph Isomorphism)의 복잡성은 수십 년 동안 공개 된 질문이었습니다. Stephen Cook 은 SAT의 NP- 완전성 에 대한 1971 년 논문 에서이 내용을 언급했습니다 .

두 그래프가 동형인지 여부를 결정하는 작업은 일반적으로 예를 들어 nautyand 등의 소프트웨어를 통해 빠르게 수행 할 수 있습니다 saucy. 반면에, 미야자키는 건설 인스턴스의 클래스에 있는 nauty라도 유용 지수 시간을 필요로합니다.

Read and Corneil은 그 시점까지 GI의 복잡성을 해결하려는 많은 시도를 검토했습니다 : Graph Isomorphism Disease , Journal of Graph Theory 1 , 339–363, 1977.

GI는 co-NP에있는 것으로 알려져 있지 않지만, 그래프 비 동질화 (GNI)에 대한 간단한 무작위 프로토콜이 있습니다. 따라서 GI (= co-GNI)는 NP에 "가까운"것으로 여겨집니다${}\cap{}$ co-NP.

반면에 GI가 NP-complete이면 다항식 계층 구조가 무너집니다. 따라서 GI는 NP- 완전하지 않을 것입니다. (Boppana, Håstad, Zachos, co-NP는 짧은 대화식 증거를 가지고 있습니까? , IPL 25 , 127–132, 1987)

Shiva Kintali는 블로그에서 GI의 복잡성에 대해 멋진 토론 을했습니다.

Laszlo Babai는 Graph Isomorphism이 Subexponential time 임을 증명했다 .

팩토링의 복잡성

되어 인수 분해 에 ?$\mathsf{P}$

• P에있는 팩토링의 결과?
• PRIMES, FACTORING 문제가 P-hard로 알려져 있습니까?
• NP- 완전 인수 분해의 결과는 무엇입니까?
• 정수 인수 분해 오라클이있는 P
• 정수 인수 분해에 대한 증거는 P ( MO )에 있습니다.

P = BPP?

최악의 다항식 실행 시간을 생성하는 심플 렉스 알고리즘에 중추적 인 규칙이 있습니까? 보다 일반적으로 선형 프로그래밍을위한 강력한 다항식 알고리즘이 있습니까?

지수 시간 가설 (ETH)은 SAT를 해결하는 제 2의 지수 필요 주장 ^{Ω (n)의} 시간. ETH는 SAT가 P에없는 것과 같이 많은 것을 의미하므로 ETH는 P ≠ NP를 의미합니다. Impagliazzo, Paturi, Zane, 어떤 문제가 기하 급수적으로 복잡 합니까?를 참조하십시오 . , JCSS 63, 512–530, 2001.

ETH는 널리 알려져 있지만 다른 많은 복잡한 클래스 분리를 ​​암시하기 때문에 증명하기 어려울 수 있습니다.

Immerman과 Vardi는 고정 소수점 논리가 정렬 된 구조 클래스에서 PTIME을 캡처 함을 보여줍니다 . 서술 적 복잡성 이론에서 가장 큰 문제 중 하나는 순서에 대한 의존성을 제거 할 수 있는지 여부입니다.

PTIME을 캡처하는 논리가 있습니까?

간단히 말해서, PTIME을 캡처하는 로직은 그래프 구조에서 직접 작동하며 정점과 모서리의 인코딩에 액세스 할 수없는 그래프 문제에 대한 프로그래밍 언어이며 다음과 같습니다.

1. 문법적으로 올바른 프로그램 모델은 다항식 시간 계산 가능한 그래프 문제
2. 다항식 시간 계산 가능 그래프 문제는 구문 적으로 올바른 프로그램으로 모델링 할 수 있습니다.

PTIME을 캡처하는 로직이 없으면 NP가 존재하는 2 차 로직에 의해 캡처되므로 입니다. PTIME을 캡처하는 로직은 P 대 NP에 대한 가능한 공격을 제공합니다.$P \neq NP$

비공식 토론에 대해서는 Lipton의 블로그 를 참조 하고보다 기술적 인 조사에 대해서는 M. Grohe : 논리 캡처 PTIME에 대한 탐구 (LICS 2008)를 참조하십시오.

는 IS 독특한 게임 추측 진실?
그리고 Unique Games에 대해 지수가 낮은 시간 근사 알고리즘 이 있다고 가정 하면 문제는 복잡성 측면에서 궁극적으로 어디에 있습니까?

영구 대 결정자

영구적 인 것과 결정적인 문제는 두 가지 사실 때문에 흥미 롭습니다. 먼저, 행렬의 지속성은 이분 그래프에서 완전 일치 횟수를 계산합니다. 따라서 이러한 행렬의 영구성은 # P- 완료입니다. 동시에, 지속 물의 정의는 결정의 정의와 매우 유사하며, 단순한 부호 변경으로 인해 궁극적으로 다릅니다. 행렬식 계산은 P로 잘 알려져 있습니다. 영구 자와 결정자 사이의 차이점을 연구하고 P 대 #P에 대한 영구 발언을 계산하는 데 필요한 행렬식 계산 수는 얼마입니까?

O ( n log n ) 보다 훨씬 적은 시간 내에 FFT 를 계산할 수 있습니까 ?$O(n \log n)$

같은 (매우) 일반적인 맥락에서, 많은 고전적인 문제 나 알고리즘의 런타임 개선에 대한 많은 의문이 있습니다 : 예를 들어, 모든 쌍 최단 경로 (APSP) 는 시간에 풀 수 있습니다 ?$O(n^{3-\epsilon})$

편집 : APSP가 제 시간에 실행 됨 "추가 및 실수의 비교는 단가있는 (그러나 다른 조작) 전형적인 대수 비용이 여기서"http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

스플레이 나무에 대한 동적 최적의 추측.

또는 더 일반적으로 :가요 어떤 온라인 동적 이진 검색 트리 O (1) - 경쟁?

최소 스패닝 트리 문제에 대한 선형 시간 결정 알고리즘 .

NP 대 co-NP

NP ≠ co-NP는 P ≠ NP를 의미하기 때문에 NP 대 co-NP 문제는 흥미 롭다 (P가 보수하에 닫혀 있기 때문에). 또한 "이중성"과 관련이 있습니다. 예 / 발견 예와 발견 / 확인 대립 예 사이의 분리. 실제로 질문이 NP와 공동 NP에 있다는 것을 증명하는 것이 P 외부에있는 것으로 보이는 문제도 NP-Complete이 아니라는 첫 번째 좋은 증거입니다.

병렬 컴퓨터로 효율적으로 해결할 수없는 문제가 있습니까?

P- 완전한 문제는 병렬화 할 수없는 것으로 알려져 있습니다. P- 완전 문제에는 Horn-SAT 및 선형 프로그래밍이 포함됩니다. 그러나 이것이 사실임을 증명하려면 병렬화 가능한 문제 (예 : NC 또는 LOGCFL)의 개념을 P에서 분리해야합니다.

컴퓨터 프로세서 설계는 처리 장치의 수를 늘려서 성능이 향상 될 것으로 기대합니다. 선형 프로그래밍과 같은 기본 알고리즘을 본질적으로 병렬화 할 수없는 경우 상당한 결과가 발생합니다.

모든 명제 타우 톨 로지에 다항식 크기의 Frege 증거가 있습니까?

증거의 복잡성에 대한 주요 개방 문제는 아마도 제안 적 증거에 대한 수퍼 다항식 크기 ​​하한을 보여줍니다 (Frew 증거라고도 함).

비공식적으로, Frege 증거 시스템은 증거 라인이 공식으로 작성되는 공리와 추론 규칙을 갖는 명제 타올 로지 (기본 논리 과정에서 배우는)를 증명하기위한 표준 명제 증명 시스템입니다. Frege 증거 의 크기 는 증명을 기록하는 데 필요한 기호의 수입니다.

문제는 가족이 있는지 묻습니다 $(F_n)_{n=1}^\infty$ 다항식이되는 명제 동어 반복적 공식 $p$ 의 최소 프레게 증거 크기하도록 $F_n$ 대부분에있다 $p(|F_n|)$ 에 대한, 모두 $n=1,2,\ldots$ (여기서 $|F_n|$ 은 공식 $F_n$ 의 크기를 나타냄 ).

Frege proof 시스템의 공식적인 정의

정의 (프레게 규칙)이 프레게 규칙 명제 식의 서열이다 0 ( ¯ X ) , ... , K ( ¯ X ) 에 대한 K ≤ 0 으로 작성 1 ( ¯ X ) , ... , 케이 ( ¯ x )$A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$$k \le 0$$\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$ . 경우에는$k = 0$은 프레게 규칙은 호출공리 방식. 수식$F_0$것으로 알려져규칙에 의해 도출에서$F_1,\ldots,F_k$경우$F_0,\ldots,F_k$모든 대체 인스턴스들이1,...,K받는 일부 할당,¯의X의변수 ( 즉, 공식 B1이 있습니다$A_1,\ldots,A_k$$\overline x$$B_1,\ldots,B_n$ 등이$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$ 모든$i=0,\ldots,k$ . 프레게 규칙은 것으로 알려져사운드과제는 상부에 수식을 만족하는 경우마다 1 , ... , k는 다음 또한 하측의 수식을 만족 0 .$A_1,\ldots,A_k$$A_0$

정의 프레게 규칙 집합이 주어 (프레게의 증명)하는 프레게 증거는 모든 증거 줄 어느 공리 또는 이전 증명 선으로부터 주어진 프레게 규칙 중 하나에 의해 도출 된되도록 식의 서열이다. 시퀀스가 공식 $A$ 끝나는 경우 증거는 $A$ 의 증거 라고합니다 . Frege 증거 의 크기 는 증명에있는 모든 공식의 총 크기입니다.

전체 사진 시스템이라고합니다 implicationally 완전한 공식의 모든 설정을위한 경우 $T$ 경우, $T$ 의미 적 의미 $F$ , 다음의 증거가 $F$ 에서 (아마도) 공리 사용하여 $T$ . 증명 시스템은 단지 위 의 $T$ 와 같이 보조 공리를 사용하지 않는 경우에만 타올 로지의 증거를 인정하면 건전하다고합니다 .

정의 명제 언어와 유한 집합을 감안할 때 (프레게 방지 시스템) $P$ 사운드 프레게 규칙, 우리는 말할 $P$ 있다 프레게 방지 시스템의 경우 $P$ implicationally 완료됩니다.

Frege 규칙은 건전한 것으로 가정되므로 Frege proof는 항상 건전합니다. 증거 복잡성에 대한 기본 결과는 서로 다른 언어를 사용하더라도 두 개의 Frege 증거 시스템이 다항식 적으로 동등하다는 점에서 특정 Frege 증거 시스템으로 작업 할 필요가 없습니다 [Reckhow, PhD 논문, University of Toronto, 1976].

Frege 증거에 대한 하한을 설정하는 것은 $NP \neq coNP$ 를 증명하기위한 단계로 볼 수 있습니다. 이것이 사실이라면 프로 포지션 증명 시스템 (Frege 포함)이 모든 타올 로지에 대해 다항식 크기 ​​증명을 가질 수 없기 때문입니다.

우리는 이차 시간, 즉 어떤 ϵ > 0에 대해 시간 O ( n 2 - ϵ ) 에서 길이 의 두 스트링 사이의 편집 거리를 계산할 수 있습니까 ?$n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

3SUM-hard 문제에 대해 실제로 2 차 시간 알고리즘 ( 일부 상수 δ > 0에 대한 시간을 의미 함 )이 있습니까?$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

2014 년 그론 및 Pettie는 시간에 실행 3SUM 자체 결정적 알고리즘 설명 . 이것이 주요 결과이지만, O ( n 2 )에 대한 개선 은 단지 (대수) 로그입니다. 더욱이, 대부분의 다른 3SUM 어려운 문제들에 대해서는 유사한 이차 알고리즘이 알려져 있지 않습니다.$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$$O(n^2)$

BQP = P?

또한 : NP는 BQP에 포함되어 있습니까?

나는 이것이 답변에 두 가지 질문을함으로써 규칙을 위반한다는 것을 알고 있지만 P 대 NP 질문으로 찍었을 때 반드시 독립적 인 질문은 아닙니다.

1. 동 형사상. (모든 NP 완료 문제가 "동일한"문제입니까?)
2. 암호화가 NP 완료 문제를 기반으로 할 수 있습니까?

그리고 주류에서 조금 더 떨어져 있습니다.


3. EXP 내의 NP 크기는 얼마입니까?

(공식적으로, 테이블의 EXP에 모든 문제가 있고 무작위로 무작위로 하나를 선택하면 선택한 문제가 NP에도있을 확률은 얼마입니까? EXP 내에서 P의 측정 값이 0 인 것으로 알려져 있습니다. 즉, 테이블에서 가져온 문제는 P에 거의 해당되지 않습니다.)

Metric TSP 의 근사 성은 무엇입니까 ? 1975 년의 Christofides 알고리즘 은 다항식 시간 (3/2) 근사 알고리즘입니다. 더 나은 것은 NP-hard입니까?

• 220/219보다 작은 요소 내에서 대략적인 Metric TSP는 NP-hard입니다 (Papadimitriou and Vempala, 2006 [PS] ). 내 지식으로는 이것이 가장 잘 알려진 하한입니다.

• 실제 범위가 4/3 일 수 있다는 증거가 있습니다 (Carr and Vempala, 2004 [무료 버전] [양호한 버전] ).

• $13/9$

지수 회로 복잡성으로 명시적인 기능을 제공하십시오.

Shannon은 1949 년에 부울 함수를 임의로 선택하면 확률이 거의 1 인 지수 회로 복잡성을 가짐을 증명했습니다.

$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

NEPP를 BPP와 분리하십시오. 사람들은 BPP = P를 믿는 경향이 있지만 아무도 NEXP를 BPP와 분리 할 수는 없습니다.

OP가 게시물 당 하나의 문제 만 요청했지만 RTA (Rewriting Techniques and Applications) 1 및 TLCA (Typed Lambda Calculi 및 Applications) 회의는 모두 해당 분야에서 공개 된 문제 목록을 유지합니다 2 . 이 목록은 이러한 문제를 해결하려고 시도한 이전 작업에 대한 포인터도 포함하므로 매우 유용합니다.

다항식 아이덴티티 테스트 문제의 무작위 화 해제

$P$$P$

이 문제는 무작위 다항식 시간에서 해결 될 수 있지만 결정적 다항식 시간에서 해결할 수있는 것으로 알려져 있지 않습니다.

$\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

$c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Quantum PCP 정리가 있습니까?

람다 미적분학 (유형 및 비 유형)에는 많은 공개 문제가 있습니다. 세부 사항 은 열린 문제 의 TLCA 목록을 참조 하십시오. 프레임이없는 멋진 PDF 버전 도 있습니다 .

나는 특히 문제 # 5를 좋아한다.

$F_ω$

P의 불연속 로그 문제가 있습니까?

허락하다 $G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$

더 쉬운 것으로 여겨지지만 여전히 해결되지 않은 DLP의 변형이 있습니다. 계산 디피 - 헬만 문제 (CDH)를 찾기위한 요청 $g^{a b}$ 소정$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$

CDH가 단단하면 DLP는 어렵고 DDH가 단단하면 CDH는 단단하지만 일부 그룹을 제외하고는 대화 감소가 알려져 있지 않습니다. DDH가 어렵다는 가정은 ElGamal 및 Cramer-Shoup 과 같은 일부 암호 시스템의 보안에 중요합니다 .

패리티 게임은 2 인용 무한 지속 시간 그래프 게임으로, 자연 결정 문제는 NP 및 co-NP이며 자연 검색 문제는 PPAD 및 PLS입니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

다항식 시간에 패리티 게임을 해결할 수 있습니까?

(보다 일반적으로, 수학적 프로그래밍에서 오랫동안 열려있는 주요 질문은 다항식 시간에 P 행렬 선형 상보 문제를 해결할 수 있는지 여부입니다.)

매개 변수화 된 복잡성 영역에는 개방형 문제 자체가 있습니다.

결정 문제를 고려하십시오

• $(G,k)$$k$$G$
• $(F,k)$$k$$F$
• $(G,k)$$k$$G$
• 기타...

많은 형태의 조합 문제가이 형태로 존재합니다. 매개 변수화 된 복잡성은 실행 시간이 의해 상한 인 경우 알고리즘이 "효율적인"것으로 간주합니다. 여기서 $f(k)n^c$$f$ 는 임의 함수입니다.$c$$k$$n^{O(k)}$

이 프레임 워크는 작은 조합 구조를 찾고있는 경우를 모델링하며 솔루션 / 증거 의 크기와 관련하여 지수 런타임을 제공 할 수 있습니다 .

이러한 알고리즘의 문제 (예 : 정점 표지)를 FPT ( Fixed Parameter Tractable )라고 합니다.

매개 변수화 된 복잡성은 성숙한 이론이며 강력한 이론적 토대를 가지고 있으며 실제 적용에 호소합니다. 이러한 이론에 흥미로운 결정 문제는 자연스럽게 완전한 문제가있는 매우 체계적인 클래스 계층을 형성합니다.

물론 그러한 포함이 엄격한 지 여부는 공개됩니다. F 인 경우$FPT=W[1]$$ETH$

그 증명 : 또한 붕괴를 조사하는 빈 운동 아님을 알 $W[1]=FPT$$k$