최근에 나는 다음과 같은 변색의 변형을 만났다.
무 방향 그래프가 연결된 경우 최대 정점 수를 사용하는 가장자리의 색상을 찾고 모든 정점에 대한 제약 조건을 만족시킵니다. 가장자리에 최대 두 가지 색상을 사용하십시오.
내 첫 번째 추측은 문제가 NP-hard라는 것입니다. 그래프 색상 문제에 대한 고전적인 NP-hard 증거는 대부분 3SAT에서 감소한 것입니다. 그러나 내 생각에, 이러한 증명은 정점에 닿는 가장자리가 같은 색으로 채색 될 수 있기 때문에이 문제에 유용하지 않으므로 그래프에서 논리 구성 요소를 구성 할 수 없습니다.
이 문제가 NP-hard 일 수 있습니까? 그렇다면 증거는 무엇입니까? 증명을 할 수 없다면이 문제의 복잡성을 결정하는 방법이 있습니까?
감사!
아마도 혼합 또는 컬러 경계의 하이퍼 그래프 채색이 시작 되었을까요? 예를 들면 다음과 같습니다. dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.04.019
—
András Salamon
문제는 P의 두 단계로 나타납니다. (1) 문제는 모든 정점이 최대 2도를 갖도록 가장자리의 최대 크기 하위 집합을 찾는 것과 같습니다. (2) 후자의 문제는 예를 들어 매칭으로 줄임. (1)과 관련하여 k 색상 문제에 대한 솔루션은 k의 차수가 2 인 서브 그래프를 제공하고 (각 색상에서 한쪽 가장자리 만 유지) 반대로 k의 차수가 2 인 서브 그래프는 k의 해를 구합니다. (서브 그래프의 각 가장자리에 고유 한 색상을 지정하고 나머지 가장자리에 색상 중 하나를 지정하십시오). 내가 무엇을 놓치고 있습니까?
—
닐 영
답변에 몇 가지 실수가있어 죄송합니다. 처음에는 "모든 정점이 최대 2도를 갖도록 가장자리의 최대 크기 하위 집합을 찾는"문제는 NP-hard이며 3SAT로 줄어 듭니다 (정확하게 어떻게 일치시킬 수 있는지 모릅니다). 더군다나, "크기 k의 모든 차수 -2 하위 그래프"는 "k 색상의 솔루션"(예 : 전체 그래프)을 제공하지 않습니다. 모두 감사합니다.
—
RIC_Eien
네 말이 맞아. (2)에 대해, "다른 색상들 중 하나의 색상으로 나머지 가장자리 색상"단계는 3 가지 색상의 정점 가장자리를 제공 할 수 있습니다. 별도로 Marek Chrobak은 다음 알고리즘을 제안했습니다. 나는 그것이 3 근사를 제공한다고 생각한다. (i) 최대 매칭 M을 찾는다; (ii) M의 각 가장자리마다 고유 한 색상을 채색한다. (iii) 나머지 가장자리를 흰색으로 채색합니다.
—
닐 영
@RIC_Eien : 당황 스러울 위험이 있습니다. "모든 정점이 최대 2도를 갖도록 가장자리의 최대 크기 부분 집합을 찾는 문제"는 NP-hard입니까? G = (V, E)가 주어지면 2 분자 G2 = (U, W, E2)를 생성합니다. 여기서 V의 각 정점 v에 대해 v '는 U, v' '는 W, E2 = {(u', w는 '') : (u, w)에서 E}. 그런 다음 G2의 일치는 G의 차수 -2 세트에 해당하며 해당 크기는 유지됩니까? (G의 각 k- 사이클 C는 G2에서 2k- 사이클 (k 홀수 인 경우) 또는 2 개의 k- 사이클 (k 짝수 인 경우)에 해당하므로 G2의 최대 일치는 문제를 해결합니다. 이번에는 무엇을 놓치고 있습니까?
—
닐 영