부울 함수의 푸리에 변환 샘플링의 복잡성

양자 컴퓨터가 할 수있는 한 가지는 (아마도 BPP + 로그 깊이 양자 회로로도 가능) P에서 부울 값 함수 의 푸리에 변환을 근사 샘플링하는 것입니다.$\pm 1$

푸리에 변환 샘플링에 대해 이야기 할 때 여기와 아래에서 . (필요한 경우 대략 정규화 됨).$|\hat f(x)|^2$

P의 근사 샘플링 부울 함수에 대한 P-FOURIER SAMPLING이라고하는 복잡성 클래스를 설명 할 수 있습니까? 이 수업에 완료된 문제가 있습니까?

부울 함수의 클래스 X가 계산 복잡성에 대해 말할 수있는 것을 감안할 때, 우리는 X에서 함수의 푸리에 변환을 샘플링하는 것을 샘플링하는 SAMPLING-X라고 할 수 있습니다. (X가 BQP이면 X-SAMPLING이라고 가정합니다. 여전히 양자 컴퓨터의 힘 안에 있습니다.)

SAMPLING-X가 P에있는 X의 예는 무엇입니까? SAMPLING-X가 NP-hard 인 흥미로운 예가 있습니까?

이 문제에는 흥미로운 몇 가지 변형이 있습니다. 푸리에 측에서는 근사 표본보다는 근사 표본 추출을 통해 (비전문적으로) 결정 문제에 대해 이야기 할 수 있습니다. 초기 측면에서, 확률 분포의 클래스 X로 시작하여 X에서 분포 D를 대략 샘플링하는 능력과 (정규화 된) 푸리에 변환을 대략 샘플링하는 능력 사이의 관계를 묻습니다.

요컨대이 질문에 대해 알려진 것입니다.

업데이트 : Martin Schwarz는 모든 푸리에 계수 자체가 다항식 수의 항목에만 집중되면 BPP에서 이러한 큰 계수를 근사화 할 수 있으며 (따라서 샘플도 가능함) Goldreich-Levin, 그리고 Kushilevitz-Mansour. 푸리에 계수를 다 항적으로 많은 계수 이상으로 분산시키는 푸리에 측을 대략 샘플링하기위한 확률 적 다항식 알고리즘이있는 흥미로운 함수 클래스가 있습니까?

나중에 추가 : 몇 가지 구체적인 문제를 언급하겠습니다.

1) P에서 부울 함수의 푸리에 변환을 대략적으로 샘플링하는 것이 얼마나 어려운가요?

a) Scott Aaronson이 아래의 의견에서 언급 한 한 가지 질문은 이것이 BPP가 아님을 보여주는 것입니다. 또는이 작업이 BPP에 있으면 약간의 붕괴가 발생한다는 선을 따라 약한 것이 있습니다. (Scot은 이것이 사실이라고 추측합니다.)

b) 또 다른 질문은이 작업이 일부 양자 기반 복잡성 클래스와 관련하여 어렵다는 것을 보여주는 것입니다. 예를 들어,이 작업을 수행 할 수있는 경우 로그 깊이 양자 컴퓨터 또는 이와 유사한 방식으로 지원되는 BPP의 의사 결정 문제를 해결할 수 있습니다.

2) Fourler 변환을 대략적으로 샘플링하는 부울 함수의 클래스는 P에 있습니다. 우리는 이것이 푸리에 계수가 다항식 많은 계수에 집중되어 있지만 매우 제한적인 것으로 보입니다.

3) PH에서 X-machine이 X-machine이 계산할 수있는 모든 함수의 푸리에 변환을 대략적으로 샘플링 할 수 있다는 복잡한 클래스 X가 있습니까?

4) 특히 n x n 육각형 그리드에서 퍼콜 레이션을위한 교차 이벤트의 푸리에 변환을 샘플링하는 문제에 관심이있었습니다.

Kushilevitz-만수르 , 이론 확립 학습마다 해당 알고리즘에서 F ( X는 ) 즉,이 경우에만, 부족한 약 O ( P O L의 Y ( N$\hat{f}(x)$$O(poly(n))$$\Omega(1/poly(n))$$\sf{BPP}$$\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$