구간 커버 문제의 복잡성

다음과 같은 문제를$Q$ 생각해보십시오. Q : 정수 과 k 간격 [ l i , r i ] 에 1 ≤ l i ≤ r i ≤ 2 n 이 주어집니다 . 또한 2 n 정수 d 1 , … , d 2 n ≥ 0이 부여 됩니다. 이 작업은 최소 간격 수를 선택하는 것입니다 [ l i , r i$n$$k$$[l_i,r_i]$$1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$$2n$$d_1,…,d_{2n}\geq 0$$[l_i,r_i]$이러한 모든 것을위한 , 적어도 차원 I의 정수 함유 간격 내가 선택됩니다.$i=1,…,2n$$d_i$$i$

가 다항식 시간으로 풀 수 있음 을 알기 어렵지 않습니다 (아래 참조).$Q$

이제 다음과 같이 약간 수정 된 문제 $Q’$ 고려하십시오. 문제 의 입력은 이전과 동일합니다. 그러나,이 작업은 현재 간격의 최소 수를 선택하는 이러한 모든 위해 이러한 , 적어도 (D) (2) I - 1 개 정수 함유 간격 2 I - 1 또는 적어도 (D) (2 개) 나 정수를 포함하는 간격 2 i 가 선택되었습니다 (“또는”으로 일반적인 논리 또는를 의미합니다).$i=1,…,n$$d_{2i-1}$$2i-1$$d_{2i}$$2i$

내 질문 : 는 다항식 시간에 풀 수 있습니까 ?$Q’$

효율적 으로 해결하는 두 가지 방법이 있습니다.$Q$

간단한 탐욕스러운 알고리즘 : 왼쪽에서 오른쪽으로 간격을 스윕하고 숫자 충족시키기 위해 필요한만큼만 간격을 선택하십시오 . 다른 간격 사이에서 선택이있을 때마다 최대 오른쪽 끝점을 가진 간격을 선택하십시오.$d_i$

정수 프로그램 : 각 간격 대해 간격이 선택되면 x i = 1 인 결정 변수 x i ∈ { 0 , 1 } 을 도입합니다 . 목표는 제약 조건에 따라 x 1 + … + x k 를 최소화하는 것입니다. ∑ j : i ∈ [ l j , r j ] x j ≥ d $[l_i,r_i]$$x_i\in\{0,1\}$$x_i=1$$x_1+…+x_k$$\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$. 이 정수 프로그램의 제약 매트릭스는 연속적인 속성을 가지므로이 프로그램의 선형 프로그래밍 완화는 정수 최적 솔루션을 갖습니다.

힌트와 참조에 감사드립니다!

위치가 간격 어디 Q의 모든 인스턴스는 다중 세트 커버 문제의 인스턴스로 변환 할 수있다 수요 포인트의 연속적인 시퀀스 (= 정수 덮는 거라고 난을 ).$[l_i,r_i]$$d_i$